Grothendieck skupina

Grothendieck skupina je abstraktní koncept algebry, který má četné aplikace, včetně teorie reprezentace , algebraické geometrie a K-teorie. Pojmenován po francouzském matematikovi Alexandru Grothendieckovi , který tento koncept představil v polovině 50. let.

Dovolit být komutativní monoid , To znamená, komutativní pologrupa s neutrálním prvkem . Nazvěme operaci navíc . Grothendieck grupa monoidu (obvykle označovaná nebo ) je abelovská grupa, která je (v určitém smyslu) rozšířením monoidu na grupu, t.j. připouští fungování nejen součtu, ale i rozdílu. dva prvky. $M$ $M$ $M$ $K$ $K_{0}$ $M$

Obecná vlastnost

Neformálně řečeno, Grothendieck grupa komutativního monoidu je univerzálním způsobem, jak z monoidu vytvořit abelovskou grupu, „seskupit“ monoid.

Nechť je komutativní monoid. Pak jeho grupa Grothendieck musí mít následující univerzální vlastnost : existuje monoidní homomorfismus $M$ $K$

i\colon M\rightarrow K

takové, že pro jakýkoli monoidní homomorfismus

f\colon M\rightarrow A

k abelovské skupině existuje jedinečný homomorfismus abelovských skupin $A$

g\colon K\rightarrow A

takové, že

f=g\circ i.

Z hlediska teorie kategorií je funktor, který přebírá komutativní monoid do své Grothendieckovy grupy , levým adjungovaným funktorem zapomínacího funktoru z kategorie abelovských grup do kategorie komutativních monoidů. $M$ $K$

Explicitní definice

Uvažujme kartézský součin , jehož prvky jsou dvojice , kde . Podle definice páry odpovídají rozdílům, jejichž sčítání je dáno $M\times M$ $(a,b)$ $a,b\in M$ $(a,b)$ $ab$

(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Takto definovaná adice má vlastnosti asociativnosti a komutativnosti (vyplývající z podobných vlastností monoidu ). $M$

Aby bylo možné definovat Grothendieckovu grupu , je nutné zavést na množině vztah ekvivalence , pod kterým jsou prvky a ekvivalentní , pro něž je rovnost $K$ $M\times M$ $(a,b)$ $(a',b')$

a+b'+c=a'+b+c

s nějakým prvkem . Triviálně se ověřuje splnění vlastností reflexivity, symetrie, tranzitivity. Na základě této definice třída ekvivalence prvku zahrnuje prvky pro všechny . Tato třída se nazývá formální rozdíl prvků a je označena . $c\in M$ $(a,b)$ $(a+c,b+c)$ $c\in M$ $A$ $b$ $ab$

Takto definovaná množina formálních rozdílů (tříd ekvivalence) s operací sčítání tvoří Grothendieckovu grupu monoidu . $K$ $M$

Neutrální (nulový) prvek skupiny je třída ekvivalence skládající se z dvojic tvaru pro všechny možné . Prvek opačný k prvku má tvar (v prvním i druhém případě jsou implikovány odpovídající třídy ekvivalence). $K$ $(a,a)$ $a \in M$ $(a,b)$ $(b,a)$

Existuje přirozené vložení , které nám umožňuje zvážit rozšíření . Konkrétně je každému prvku přiřazen formální rozdíl , tj. třída prvků pro všechny možné . $M\to K$ $K$ $M$ $a \in M$ $a-0$ $(a+c,c)$ $c\in M$

Příklady

Nejjednodušším příkladem grupy Grothendieck je konstrukce celých čísel z přirozených čísel. Nejprve zkontrolujeme, že přirozená čísla s obyčejným sčítáním skutečně tvoří komutativní monoid. Nyní pomocí konstrukce Grothendieckovy grupy zvažte formální rozdíly přirozených čísel se vztahem ekvivalence $(\mathbb {N} ,+)$ $nm$

nm\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.

Nyní pojďme definovat

n:=[n-0],

-n:=[0-n]

pro všechny . Tato konstrukce definuje celá čísla . $n \in \mathbb N$ $\mathbb {Z}$

Odkazy

Skupina Grothendieck Archivováno 14. května 2011 na Wayback Machine na PlanetMath .
Michael Atiyah . K-Theory, (Poznámky pořízené D. W. Andersonem, podzim 1964), publikovaná v roce 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
Jonathan Rosenberg. Algebraická K-teorie a její aplikace, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3 .