Ideální třídní kolektiv

Ideální třídní skupina Dedekindova kruhu je, zhruba řečeno, skupina, která umožňuje říci, jak silně je faktoriál porušen v daném kruhu . Tato skupina je triviální právě tehdy, když je Dedekindův prsten faktoriální. Vlastnosti Dedekindova prstence týkající se násobení jeho prvků úzce souvisí se strukturou této skupiny.

Definice

Nechť R je integrální kruh , definujeme vztah na jeho nenulových zlomkových ideálech takto: právě tehdy, když existují nenulové prvky a a b kruhu R takové, že , je snadné ukázat, že to definuje vztah ekvivalence. Třídy ekvivalence s ohledem na tento vztah se nazývají ideální třídy . Násobení tříd definované jako [ a ]*[ b ] = [ ab ] je dobře definované, asociativní a komutativní; hlavní zlomkové ideály tvoří třídu [ R ], která je identitou tohoto násobení. Třída [ I ] má svou inverzní třídu [ J ] právě tehdy, když je ideální IJ hlavní. V obecném případě takové J nemusí existovat a ideální třídy budou jen komutativní monoid . $\sim$ $Já\sim J$ $(a)I=(b)J$

Jestliže R je také Dedekindův kruh (například kruh algebraických čísel nějakého algebraického číselného pole ), pak každý zlomkový ideál I má inverzní J takový, že IJ = R = (1). Proto zlomkové ideální třídy Dedekindova kruhu s násobením definovaným výše tvoří Abelovu grupu , ideální třídní grupu kruhu R.

Vlastnosti

Ideální třídní skupina je triviální právě tehdy, když všechny ideály kruhu R jsou hlavní, to znamená, když R je hlavní ideální doména . Navíc Dedekindův prsten je faktoriální právě tehdy, když je doménou hlavních ideálů.
Počet ideálních tříd kruhu R může být obecně nekonečný; navíc jakákoliv abelovská grupa je izomorfní s třídní grupou nějakého Dedekindova kruhu [1] . Je-li však R kruh celých čísel číselného pole, pak je jeho počet tříd konečný.
Výpočet skupiny tříd je obecně poměrně obtížný. To lze provést ručně pro algebraické číselné pole s malým diskriminantem pomocí Minkowského vazby . U polí s velkým diskriminantem se ruční výpočet stává nepraktickým a obvykle se provádí pomocí počítače.

Příklady

Počet tříd kvadratického pole

Jestliže d je číslo bez čtverce , pak je kvadratické pole . Pokud d < 0, je třídní skupina triviální pouze pro následující hodnoty: V případě d > 0 zůstává stále otevřeným problémem otázka, zda počet hodnot odpovídajících triviální třídní skupině je nekonečný. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.$

Příklad netriviální skupiny tříd

$R={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$ — kruh celočíselného číselného pole Tento kruh není faktoriál; vlastně ideál ${\mathbb Q}({\sqrt {-5}}).$

J=(2,1+{\sqrt {-5}})

není hlavní. To lze dokázat rozporem následovně. Na něm je možné definovat normovou funkci , a právě tehdy, když x je invertibilní. Za prvé, . Kvocientový kruh je izomorfní ideálem , takže . Pokud je J generováno prvkem x , pak x dělí 2 a 1 + √−5. Proto norma x dělí 4 a 6, to znamená, že se rovná 1 nebo 2. Nemůže se rovnat 1, protože J se nerovná R a nemůže se rovnat 2, protože nemůže mít zbytek 2 modulo 5. Je snadné zkontrolovat, který je hlavní ideál, takže pořadí J ve skupině tříd je 2. Nicméně kontrola, zda všechny ideály patří do jedné z těchto dvou tříd, vyžaduje trochu více úsilí. $R$ $N(a+b{\sqrt 5})=a^{2}+5b^{2}$ $N(ab)=N(a)N(b)$ $N(x)=1$ $J\neq R$ $(1+{\sqrt {-5}})$ ${\mathbb Z}/6{\mathbb Z}$ $R/J\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $a^{2}+5b^{2}$ $J^{2}=(2)$

Poznámky

↑ Claborn, 1966

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - M: Mir, 1972
Claborn, Luther (1966), Každá abelovská skupina je třídní skupina , Pacific Journal of Mathematics vol . 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm /1102994263&page=record > Archivováno 7. června 2011 na Wayback Machine
Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Algebraická teorie čísel , sv. 27, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6