Oblast integrity

Oblast integrity (nebo integrální kruh nebo oblast integrity nebo jednoduše oblast ) je koncept komutativní algebry : asociativní komutativní kruh bez nulových dělitelů (součin žádné dvojice nenulových prvků není roven 0).

Tento článek se řídí konvencí, že oblasti integrity mají multiplikativní neutrální prvek, obvykle označovaný jako 1, ale někteří autoři nevyžadují, aby oblasti integrity měly multiplikativní neutrální prvek.

Ekvivalentní definice: Doména integrity je komutativní kruh, ve kterém je nulový ideál {0} prvočíslo . Jakákoli doména integrity je podkruhem svého podílového pole .

Příklady

Nejjednodušším příkladem domény integrity je kruh celých čísel . $\mathbb {Z}$
Jakékoli pole je oblastí integrity. Na druhou stranu jakákoli artinovská doména integrity je pole. Zejména všechny konečné domény integrity jsou konečnými poli .
Okruh polynomů s koeficienty z nějakého integrálního kruhu je také integrální. Například okruh polynomů v jedné proměnné s celočíselnými koeficienty a okruh polynomů ve dvou proměnných s reálnými koeficienty budou integrální. Okruh formálních mocninných řad s koeficienty z integrálního kruhu je také integrální. ${\mathbb {Z}}[x]$ ${\mathbb {R}}[x,y]$
Množina reálných čísel formuláře je podkruhem pole , a tedy doménou integrity. Totéž lze říci o množině komplexních čísel tvaru , kde a jsou celá čísla (množina Gaussových celých čísel ). $a+b{\sqrt {2}}$ $\mathbb {R}$ $a+bi$ $A$ $b$
Dovolit být připojen otevřený podmnožina komplexní roviny . Potom bude okruh všech holomorfních funkcí integrální. Totéž platí pro jakýkoli kruh analytických funkcí definovaných na připojené podmnožině analytické různice . $U$ $\mathbb {C}$ $H(U)$ $f:U\rightarrow {\mathbb {C}}$
Jestliže je komutativní kruh a je ideál v , pak podílový kruh je integrální právě tehdy, když je prvočíslo . $K$ $já$ $K$ $K/I$ $já$

Dělitelnost, prvočíslo a neredukovatelné prvky

Dovolit a být prvky integrálního kruhu . Říkají, že „ dělí “ nebo „ -dělitel “ (a píší ) právě tehdy, když existuje prvek takový, že . $A$ $b$ $K$ $A$ $b$ $A$ $b$ $a\střed b$ $x\in K$ $sekera=b$

Dělitelnost je tranzitivní : jestliže dělí a dělí , pak dělí . Jestliže dělí a , pak také dělí jejich součet a rozdíl . $A$ $b$ $b$ $C$ $A$ $C$ $A$ $b$ $C$ $A$ $b+c$ $před naším letopočtem$

Pro jednotkový kruh se jednotkové $K$ dělitele , tedy prvky dělící 1, také nazývají (algebraické) jednotky . Oni a jen oni mají inverzní prvek, takže dělitelé jednoty se také nazývají invertibilní prvky . Invertibilní prvky rozdělují všechny ostatní prvky prstenu. $v K$ $K$

Prvky a se nazývají sdružené if dělí a rozděluje . a jsou spojeny tehdy a jen tehdy , když , kde je invertibilní prvek. $A$ $b$ $A$ $b$ $b$ $A$ $A$ $b$ $a=být$ $E$

Nenulový prvek , který není jednotkou, se nazývá neredukovatelný , pokud jej nelze rozložit na součin dvou prvků, které nejsou invertibilní . $q$

Nenulový nevratný prvek se nazývá jednoduchý , pokud vyplývá ze skutečnosti, že nebo následuje . Tato definice zobecňuje pojetí prvočísla v prstenu , ale také bere v úvahu záporná prvočísla. Jestliže je jednoduchý prvek prstence, pak hlavní ideál jím generovaný je jednoduchý. Každý jednoduchý prvek je neredukovatelný, ale opak neplatí ve všech oblastech integrity. $p$ $p\mid ab$ $p\mid a$ $p\mid b$ $\mathbb {Z}$ $p$ $(p)$

Vlastnosti

Jakékoli pole, stejně jako jakýkoli kruh s jednotkou obsažený v nějakém poli, je doménou integrity.
- Naopak jakákoli oblast integrity může být vnořena do nějakého pole. Takové vnoření je dáno konstrukcí pole kvocientů.
Přímým součinem kruhů není nikdy celá oblast, protože jednotka prvního kruhu vynásobená jednotkou druhého kruhu dá 0.
Tenzorový součin integrálních prstenců bude také integrálním prstencem.
Charakteristikou oblasti integrity je buď nula, nebo prvočíslo .

Variace a zobecnění

Někdy není komutativnost při definici domény integrity vyžadována. Příklady domén nekomutativní integrity jsou pevná tělesa , stejně jako podkruhy pevných těles obsahující jednotku, jako jsou celočíselné čtveřice . Není však pravda, že do nějakého těla může být zabudována jakákoli nekomutativní doména integrity.

Literatura

Vinberg E.B. Kurz algebry. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .

Inkluzní diagram některých tříd prstenců
komutativní kruhy ⊃ integrální kruhy ⊃ faktoriální kruhy ⊃ hlavní ideální oblasti ⊃ Eukleidovské kruhy ⊃ pole