Říše hlavních ideálů

Oblast hlavních ideálů  je doménou integrity , ve které je hlavní každý ideál . Obecnější pojetí je prsten hlavních ideálů , od kterého celistvost není vyžadována (avšak někteří autoři, takový jako Bourbaki , odkazovat se na prsten hlavních ideálů jako integrální prsten).

Prvky hlavního ideálního prstenu jsou v některých ohledech jako čísla : pro jakýkoli prvek existuje jedinečná prvočíselná faktorizace, pro jakékoli dva prvky existuje největší společný dělitel .

Hlavní ideální domény mohou být označeny na následujícím řetězci inkluzí:

Navíc všechny domény hlavních ideálů jsou Noetheriánské a Dedekindovy prsteny.

Příklady

• Kruh celých čísel
• Okruh polynomů nad polem k  - k[x] , stejně jako okruh formálních mocninných řad
• Z [ i ] je kruh Gaussových celých čísel
• Ejzenštejnský kruh celých čísel

Příklady integrálních prstenců, které nejsou hlavními ideálními prstenci:

• Z [ x ] je polynomický kruh s celočíselnými koeficienty (ideál (2, x) nemůže být generován jedním polynomem)
• Polynomiální kruh ve dvou proměnných k[x, y] (ideál (x, y) není hlavní)

Moduly

Hlavním výsledkem je zde následující věta: je-li R  doménou hlavních ideálů a M  je konečně generovaný modul nad R , pak M se rozkládá na přímý součet cyklických modulů, tj. modulů generovaných jediným prvkem. Protože nad ním existuje surjektivní homomorfismus z R na cyklický modul (odeslání jednotky do generátoru), má podle teorému o homomorfismu jakýkoli cyklický modul tvar pro some .

Zejména jakýkoli submodul volného modulu nad hlavní ideální doménou je zdarma. To neplatí pro libovolné kruhy, jako protipříklad lze uvést vložení modulu .

Viz také

• Euklidův algoritmus
• Smith v normální formě

Literatura

• Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra sv. 1-2. - M: IL, 1963
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko . Algebry, okruhy a moduly . Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson . Základní algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1