Smith v normální formě

Smithova normální forma je diagonální (ne nutně čtvercová) matice nad hlavní ideální doménou , jejíž každý diagonální prvek je dělitelný předchozím. Jakákoli matice nad doménou hlavních ideálů může být redukována na Smithovu normální formu násobením vlevo a vpravo invertibilními maticemi [1] .

Formulace

Pro jakoukoli matici velikosti nad doménou hlavních ideálů existují invertibilní matice nad a takové, že kde je dělitelné . Zde označuje matici velikostí se zadanými diagonálními položkami a nulami na zbývajících pozicích. $A$ $m\krát n$ $R$ $R$ $B$ $C$ $BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $g_{i+1}$ ${\displaystyle g_{i))$ $\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $m\krát n$

Aplikace

Smithova věta o normální formě implikuje známou větu o struktuře konečně generovaných modulů nad hlavními ideálními oblastmi . Konkrétně, je- li kruh celých čísel, pak Smithova normální forma dává větu o struktuře konečně generovaných Abelovských grup, a je - li kruh polynomů nad algebraicky uzavřeném poli , pak ji lze použít k odvození věty o Jordanova forma lineárního operátoru . $R$ $R=F[t]$ $F$

Viz také

Hermitovská normální forma

Poznámky

↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 128.

Literatura

Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .