Strukturní teorém pro konečně generované moduly nad doménami hlavních ideálů

Věta o struktuře pro finitely generované moduly nad hlavními ideálními doménami je zobecněním teorému o klasifikaci finitely generovaných Abelianových grup . Tato věta poskytuje obecný způsob pochopení některých výsledků o kanonických formách matic.

Věta

Má-li vektorový prostor nad polem k konečnou generující množinu, lze z ní vždy vybrat bázi , takže vektorový prostor je izomorfní k n . Pro konečně generované moduly to již neplatí (protipříklad je , který je generován jedním prvkem jako Z -modul), nicméně takový modul lze reprezentovat jako modul faktoru ve tvaru R n /A (viz to stačí namapovat bázi R n do tvořící množiny a použít větu o homomorfismu ). Změnou volby báze v R n a generující množiny v modulu lze tento součinitel zredukovat do jednoduchého tvaru, čímž vznikne strukturní teorém. $\mathbb Z_2$

Formulace věty o struktuře se obvykle uvádí ve dvou různých formách.

Rozklad na invariantní faktory

Každý konečně generovaný modul M v oblasti hlavních ideálů R je izomorfní k jedinečnému modulu formy

\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}) ,

kde a (tj. dělitelné ). Pořadí nenulových je jednoznačně určeno, stejně jako číslo . $(d_i) \neq R$ $d_i \vert d_{i+1}$ $d_{i+1}$ $d_{i}$ $(d_i)$ $(d_i)=0$

K označení konečně generovaného modulu M tedy stačí uvést nenulovou (splňující dvě podmínky) a číslo rovné nule . Prvky jsou jednoznačně definovány až do násobení invertibilními prvky prstence a nazývají se invariantní faktory. $(d_i)$ $(d_i)$ $d_{i}$

Rozklad na primární faktory

Každý konečně generovaný modul M v oblasti hlavních ideálů R je izomorfní k jedinečnému modulu formy

\bigoplus _{i}R/(q_{i}),

kde a všechny jsou primární ideály . Navíc jsou samy o sobě jednoznačně určeny (až po násobení vratnými prvky). $(q_i) \neq R$ $(Qi)$ $Qi}$

V případě, kdy je prstenec R euklidovský , všechny primární ideály jsou mocniny prvočísel , tedy . $(q_i)=(p_i^{r_i})$

Náčrt důkazu pro euklidovské prsteny

Mnoho hlavních ideálních domén je také Euclidean prsteny . Navíc důkaz pro euklidovské prsteny je poněkud jednodušší; zde jsou jeho hlavní kroky.

Lemma. Nechť A je euklidovský kruh, M volný A - modul a N jeho podmodul. Pak je N také volné, jeho hodnost nepřesahuje hodnost M a existuje základ {e 1 , e 2 , … e m } modulu M a nenulové prvky {u 1 , … uk } kruhu A takové, že {u 1 e 1 , … u k e k } je základem N a u i+1 je dělitelné u i .

Důkaz, že N je volný, je indukcí na m . Základ m = 0 je zřejmý, dokažme krok indukce. Nechť M 1 je generována prvky {e 1 , … e m-1 }, N 1 — průsečík M 1 a N — je volná induktivním předpokladem. Poslední souřadnice prvků N v bázi {e 1 , … e m } tvoří submodul okruhu A (tedy ideálu), A je okruh hlavních ideálů, tento ideál je tedy generován jedním prvkem; pokud je ideál nula — N se shoduje s N 1 , ale pokud je generován prvkem k , stačí k bázi N 1 přidat jeden vektor , jehož poslední souřadnice je rovna k . Nyní můžeme napsat matici s prvky z A odpovídajícími vnoření N do M : do sloupců matice zapíšeme souřadnice bázových vektorů N v nějaké bázi M . Popišme si algoritmus pro převedení této matice do diagonálního tvaru pomocí elementárních transformací . Prohozením řádků a sloupců přesuneme nenulový prvek a s nejmenší normou do levého horního rohu . Jsou-li jím dělitelné všechny prvky matice, odečteme první řádek od zbytku s takovým koeficientem, aby všechny prvky prvního sloupce (kromě prvního prvku) byly nulové; pak obdobně odečteme první sloupec a přistoupíme k transformacím čtverce zbývajícího v pravém dolním rohu, jehož rozměr je o jeden menší. Pokud existuje prvek b , který není dělitelný a , můžeme snížit minimum normy nad nenulovými prvky matice aplikací euklidovského algoritmu na dvojici ( a , b ) (umožňují nám to elementární transformace ). Protože norma je přirozené číslo, dříve nebo později dojdeme k situaci, kdy jsou všechny prvky matice dělitelné . Je snadné vidět, že na konci tohoto algoritmu báze M a N splňují všechny podmínky lemmatu.

Konec dokazování. Uvažujme konečně vygenerovaný modul T se soustavou generátorů {e 1 , … e m }. Existuje homomorfismus od volného modulu k tomuto modulu, který mapuje základ na systém generátorů. Aplikováním teorému o homomorfismu na toto zobrazení získáme, že T je izomorfní k faktoru . Zredukujeme báze a do tvaru bází v lemmatu. Je snadné to vidět $A^m$ $A^m$ $A^m / \text{ker}f$ $A^m$ $\text{ker}f$

A^m / (u_1e_1, u_2e_2, \ldots u_ke_k) \cong A/(u_1) \oplus \ldots \oplus A/(u_k) \oplus A^{nk}

Každý konečný člen zde může být rozložen na součin primárních, protože prstenec A je faktoriál (viz článek Čínská věta o zbytku ). Abychom dokázali jedinečnost tohoto rozkladu, musíme uvažovat torzní submodul (pak je rozměr volné části popsán invariančně jako rozměr faktoru vzhledem ke kroucení), stejně jako p -torzní submodul pro každý prvočíslo p prstenu A . Počet členů tvaru (pro všechna n ) je invariantně popsán jako dimenze submodulu prvků anihilovaných násobením p jako vektorový prostor nad polem . $A/(p^n)$ $A/(p)$

Důsledky

Případ dává klasifikaci finitely generovaných abelianských skupin . $R=\mathbb{Z}$

Nechť T je lineární operátor na konečněrozměrném vektorovém prostoru V nad polem K . V lze považovat za modul nad (jeho prvky lze skutečně násobit skaláry a T ), konečná dimenzionalita implikuje konečné generování a absenci volné části. Posledním neměnným faktorem je minimální polynom a součinem všech invariantních faktorů je charakteristický polynom . Volbou standardního tvaru matice operátoru T působícího na prostor získáme následující tvary matice T na prostoru V : $K[T]$ $K[T]/p(T)$

invariantní faktory + doprovodná matice dává Frobeniovu normální formu
primární faktory + Jordanova buňka dává Jordanovu normální formu (v případě, že je pole K algebraicky uzavřené ).

Viz také

Smith v normální formě

Poznámky

Bourbaki N. Algebra. Část 3. Moduly, kroužky, formy. - M .: Nauka, 1966. Kapitola VII.
Vinberg E. B. , kurz algebry. - M.: Publishing House'Factorial Press, 2001.
P. Aluffi. Algebra: Kapitola 0 (graduální studium matematiky) - Americká matematická společnost, 2009 - ISBN 0-82184-781-3 .
Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra , New York: Springer, str. 218–226, oddíl IV.6: Moduly nad hlavní ideální doménou, ISBN 978-0-387-90518-1