Doprovodná matrice

V lineární algebře doprovodná matice unitárního polynomu

{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\tečky +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n))

nazývaná čtvercová matice

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\tečky &0&-c_{0}\\1&0&\tečky &0&-c_{1}\\0&1&\tečky &0&-c_{2}\\\vtečky & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\tečky &1&-c_{n-1}\\\end{bmatrix}}.

Vlastnosti

Polynom je charakteristickým i minimálním polynomem matice a v tomto smyslu matice doprovází polynom . $p(x)$ $C(p)$ $C(p)$ $p(x)$

Pokud je matice dimenze s prvky z pole , pak jsou následující příkazy ekvivalentní: $A$ $n\krát n$ $\mathbb {F}$

$A$ je podobný jeho doprovodné matici nad polem . $\mathbb {F}$
Charakteristický polynom matice je stejný jako její minimální polynom . $A$
Existuje cyklický vektor takový, že vektory tvoří základ prostoru . $v\in V=F^{n}$ $v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v$ $PROTI$

Ne každá čtvercová matice je jako doprovodná matice, ale jakákoli čtvercová matice je jako blokově diagonální matice , jejíž každý blok je doprovodnou maticí. Navíc lze tyto doprovodné matice volit tak, aby se jejich polynomy navzájem dělily. Taková matice je jednoznačně určena z původní čtvercové matice a nazývá se Frobeniova normální forma .

Diagonalizovatelnost

Pokud má polynom kořeny: (což jsou vlastní čísla matice ), pak je diagonalizovatelný , to znamená, že může být reprezentován jako $p(x)$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\tečky ,\lambda _{n))$ $C(p)$ $C(p)$