Jordanova matice

Jordanova matice je čtvercová blokově diagonální matice nad polem s bloky formuláře $\mathbb {K}$

J_{\lambda }={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots & \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Každý blok se nazývá Jordanova buňka s vlastní hodnotou (vlastní hodnoty v různých blocích mohou být obecně stejné). $J_{\lambda}$ $\lambda$

Podle Jordanovy věty o normálním tvaru pro libovolnou čtvercovou matici nad algebraicky uzavřeným polem (jako je pole komplexních čísel ) existuje čtvercová nedegenerovaná (tj. invertibilní, s nenulovým determinantem) matice nad , takové, že $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ $\mathbb {K}$

J=C^{{-1}}A\,C

je Jordanova matice. Toto se nazývá Jordanova forma (nebo Jordanova normální forma ) matice . V tomto případě se o Jordanově matici v poli také říká, že je podobná (nebo konjugovaná s ) dané matici . A naopak, kvůli ekvivalentnímu vztahu $J$ $A$ $J$ $\mathbb {K}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

matice je v poli podobná matici . Je snadné ukázat, že takto zavedená relace podobnosti je relací ekvivalence a rozděluje množinu všech čtvercových matic daného řádu nad daným polem do disjunktních tříd ekvivalence. Jordanova forma matice není jednoznačně definována, ale až do řádu Jordanových buněk. Přesněji řečeno, dvě Jordanovy matice jsou podobné právě tehdy a jen tehdy, pokud jsou složeny ze stejných Jordanových buněk a liší se od sebe pouze umístěním těchto buněk na hlavní diagonále. $A$ $\mathbb {K}$ $J$ $\mathbb {K}$

Vlastnosti

Počet Jordanových buněk řádu s vlastním číslem v Jordanově tvaru matice lze vypočítat podle vzorce $n$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda )=\operatorname {rank}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operatorname {rank}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operatorname {rank}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

kde je matice identity stejného řádu jako , symbol označuje hodnost matice , a podle definice se rovná řádu . Výše uvedený vzorec vyplývá z rovnosti

já

A

\operatorname {rank}

\operatorname {rank}(A-\lambda I)^{0}

A

\operatorname {rank}(A-\lambda I)=\operatorname {rank}(J-\lambda I).

Pokud pole není algebraicky uzavřené , aby byla matice podobná nad nějakou Jordanovou maticí, je nutné a postačující, aby pole obsahovalo všechny kořeny charakteristického polynomu matice . $\mathbb {K}$ $A$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $A$
V hermitovské matrici mají všechny Jordanovy buňky velikost 1.
Je matice lineárního operátoru v kanonické bázi.
Jordanovy formy dvou podobných matic se shodují až do pořadí buněk.

Historie

Jordan byl jedním z prvních, kdo o takové formě matrice uvažoval .

Variace a zobecnění

V poli reálných čísel mohou být vlastní hodnoty matice (tj. kořeny charakteristického polynomu) reálné i komplexní a komplexní vlastní hodnoty, pokud existují, jsou přítomny v párech spolu se svými komplexními konjugáty: , kde a jsou reálná čísla, . V reálném prostoru taková dvojice komplexních vlastních čísel odpovídá bloku a k výše uvedenému typu Jordanových matic se přidávají matice obsahující i bloky ve tvaru odpovídajícím dvojicím komplexních vlastních čísel : [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$ $J_{{\lambda _{{1,2))))$

J_{{\lambda _{{1,2}}}}=\left({\begin{array}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0 \0&0&\alpha &\beta &1&0&\ctečky &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alpha &0&1&\dtečky &0&0&0&0\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky \vtečky &\vtečky &\vtečky \\\vtečky &\vtečky &\vtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\vtečky &\vtečky &\vtečky \\\vtečky &\vtečky & \vtečky &\vtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\dtečky &\vtečky &\vtečky \\0&0&0&0&0&0&\ctečky &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\cdotky &-\beta &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\vpravo).

Jordanova věta o normálním tvaru je speciálním případem věty o struktuře konečně generovaných modulů nad hlavními ideálními oblastmi . Klasifikace matic skutečně odpovídá klasifikaci lineárních operátorů a vektorové prostory nad polem s pevným lineárním operátorem bijectically odpovídají modulům přes polynomiální kruh (násobení vektoru pomocí je dáno jako aplikace lineárního operátoru). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$ $X$

Kromě Jordanovy normální formy se uvažuje o řadě dalších typů maticových normálních forem (například Frobeniova normální forma ). Uvažují se zejména tehdy, když základní pole neobsahuje všechny kořeny charakteristického polynomu dané matice.

Viz také

Weirova kanonická podoba

Poznámky

↑ Faddeev D.K. Přednášky o algebře. Moskva: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Maticová analýza. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Literatura

Halmos P. Konečné-dimenzionální vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Gantmakher F. R. teorie matice. — M .: Nauka, 1966. — 576 s.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Maticová analýza. — M .: Mir, 1989, 655 s., ill. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře, Moskva: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře. Moskva: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, Fizmatlit, Moskva, 2009.
Kim, G. D. Lineární algebra a analytická geometrie, Moskva, 2005.
V. V. Kolybasová, N. Ch. Krutitskaja, A. V. Ovčinnikov. Matice operátorů Jordan formuláře
P. Aluffi. Algebra: Kapitola 0 (graduální studium matematiky). - Americká matematická společnost, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .