Hermitovská matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. listopadu 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Hermitovská (nebo samoadjungovaná ) matice je čtvercová matice, jejíž prvky jsou komplexní čísla a která se po transpozici rovná komplexně konjugované: . To znamená, že pro jakýkoli sloupec a řádek platí rovnost $A^{T}=\overline {A}$ $i$ $j$

a_{{i,\;j}}=\overline {a_{{j,\;i}}},

kde je komplexně sdružené číslo k ,

{\overline {a}}

A

nebo

A=({\overline {A)))^{T}=A^{*}=A^{\dagger },

kde je hermitovská konjugace ${}^{*}$

{\displaystyle {}^{\dagger ))

je hermitovský operátor konjugace (zápis v kvantové mechanice ).

Například matice

{\begin{bmatrix}5&2+i\\2-i&7\end{bmatrix}}

je Hermitian.

V souladu s tím je antihermitovská matice čtvercová matice, jejíž prvky splňují rovnost nebo . $a_{{i,\;j}}=-\overline {a_{{j,\;i}}}$ $A=-A^{*}$

Hermitovská matice dostala své jméno poté , co Charles Hermite v roce 1855 ukázal, že matice této formy mají stejně jako symetrické matice skutečná vlastní čísla .

Základní vlastnosti

Hermitovská matice je normální .

Diagonální prvky hermitovské matice jsou skutečné .

Skutečná hermitovská matice (tj. ta, jejíž prvky jsou všechna reálná čísla) je symetrická :

Podobně je čistě imaginární hermitovská matice (s prvky bez skutečných složek) šikmo symetrická .

Determinant hermitovské matice je reálné číslo.

Součet dvou hermitských matic je hermitovský.

Inverzní hermitovská matice je také hermitovská, pokud existuje.

Součin dvou hermitovských matic je hermitovský právě tehdy, když spolu pendlují, tedy pokud . $AB=BA$

Pro hermitovskou matici jsou všechna vlastní čísla skutečná a vlastní vektory lze shromáždit do ortonormálního systému .

Vlastní vektory hermitovské matice odpovídající různým vlastním číslům jsou ortogonální. Pokud ale dva vlastní vektory odpovídají jednomu vlastnímu číslu, pak nemusí být nutně navzájem ortogonální, ale ortogonální ke všem ostatním vlastním vektorům odpovídajícím jiným vlastním číslům.

Jordanova forma hermitovské matice je diagonální .

Další vlastnosti

Součet jakékoli čtvercové matice a její hermitovské konjugace je hermitovský. $B$ $B^{*}$ $(B+B^{*})$
Rozdíl jakékoli čtvercové matice a matice hermitovské s ní konjugované je antihermitovský, to znamená . $B$ $B^{*}$ $(BB^{*})$ $BB^{*}=-(BB^{*})^{*}$
Jakákoli čtvercová matice C může být reprezentována jako součet hermitovské a antihermitovské matice:

C=A+B

, a tyto termíny jsou jednoznačně určeny: , . Jejich bytí hermitovské a antihermitovské vyplývá ze dvou předchozích tvrzení, resp.

A=(C+C^{*})/2

B=(CC^{*})/2

Viz také

Odkazy

Hermitovské matice / Mathpages
2.9 Hermitovské matice (nepřístupný odkaz) / P. Lancaster TEORIE MATICE, Nauka Publishing House, Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1973, s. 75-79