Formální mocninná řada

Formální mocninná řada je formální algebraické vyjádření tvaru:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

ve kterém koeficienty patří do nějakého kruhu . $a_n$ $R$

Na rozdíl od mocninných řad v analýze nejsou formálním mocninným řadám uvedeny číselné hodnoty a konvergence takových řad se nezohledňuje.

Formální mocninné řady jsou studovány v algebře , topologii , kombinatorice . Kromě toho jsou vhodným nástrojem při studiu různých hladkých objektů, například v diferenciální topologii a teorii diferenciálních rovnic .

Základní pojmy

Algebraické operace

Na formálních mocninných řadách lze definovat operace sčítání ( ), násobení ( ), formální derivace ( ) a skládání ( ) následovně. Nechat $+$ $\cdot$ $'$ $\circ$

F(X)=\součet \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\součet \limits _{{n= 0}}^{{\infty }}b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n} X^{n}.

Pak

H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};

H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};

H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};

H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\součet \limits _{k_{1}+ \ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}

(v tomto případě je nutné, aby ).

b_{0}=0

Formální mocninné řady nad prstenem tedy samy tvoří prsten, označovaný . $R$ $R[[X]]$

Metriky a topologie

V kruhu můžete také určit topologii generovanou následující metrikou : $R[[X]]$

d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},

kde je nejmenší přirozené číslo takové, že . $k$ ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k))$

Lze dokázat, že určité násobení a sčítání v této topologii jsou spojité a formální mocninné řady s určitou topologií tvoří topologický kruh .

Vratné prvky

Formální série

{\displaystyle F(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n))

in je invertibilní při násobení právě tehdy, když je invertibilní v . To je nezbytné, protože volný člen součinu je a dostatečný, protože koeficienty obrácené řady jsou určeny vzorcem: $R[[X]]$ $a_{0}$ $R$ $a_{0}b_{0}$ $G(X)$

{\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}} }\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{ni},\qquad \forall n\geqslant 1.F(X)G(X)=1\end{aligned}}

Jestliže , a také , pak existuje řada (podobně jako ), která je k ní vzhledem ke složení inverzní, tzn. takové, že (podobně ). $F(0)=0$ $F'(0)\not =0$ $G(X)$ $H(X)$ $F(G(X))=X$ $H(F(X))=X)$

V tomto případě se provede (podobně ). Zbývající koeficienty řady ( ) lze vyjádřit pomocí koeficientů postupným derivováním rovnosti (podobně jako ) a dosazováním do ní . $G(0)=0$ $H(0)=0$ $G(X)$ $H(X)$ $F(X)$ $F(G(X))=X$ $H(F(X))=X)$ $X=0$

Vlastnosti

Maximální ideály kruhu formálních mocninných řad jsou ideály, pro které je maximálním ideálem a je generování a . $M$ $M\cap R$ $R$ $M$ $X$ $M\cap R$
Pokud je místní kruh , pak ano . $R$ $R[[X]]$
$R$ je Noetherian ring , pak je to také Noetherian ring. $R[[X]]$
Pokud je oblast integrity , bude to také oblast integrity. $R$ $R[[X]]$
Metrický prostor je kompletní. $(R[[X]],\;d)$
Prsten je kompaktní, když je prstenec konečný. $R[[X]]$ $R$
Borel - Whitney lemma : pro jakoukoli formální řadu existuje nekonečně hladká funkce , jejíž Taylorova řada se shoduje s danou formální řadou [1] .

Viz také

Odkazy

Formální mocninná řada na webu PlanetMath .
Pavlova N. G., Remizov A. O. Hladké funkce, formální řady a Whitneyho věty // Matematické vzdělávání. - 2016. - č. 3 (79). - str. 49-65.

Poznámky

↑ Pavlova N. G., Remizov A. O. Hladké funkce, formální řady a Whitneyovy věty // Matematické vzdělávání. - 2016. - č. 3 (79). - strana 54.