Kvadratické pole

Kvadratické pole je algebraické číselné pole stupně 2 přes . Lze dokázat, že zobrazení definuje bijekci mezi množinou celých čísel bez čtverců a množinou všech párových neizomorfních kvadratických polí. Pokud se kvadratické pole nazývá reálné , jinak je imaginární nebo komplexní . $\mathbb {Q}$ $d\mapsto {\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d>0,$

Okruh celých čísel kvadratického pole

Pro jakékoli algebraické číselné pole lze uvažovat o jeho kruhu celých čísel, tedy o množině prvků, které jsou kořeny redukovaných polynomů s celočíselnými koeficienty. V případě kvadratického pole se jedná o kořeny daných kvadratických rovnic s celočíselnými koeficienty, všechna čísla tohoto tvaru lze snadno popsat.

Nechť je celé číslo bez čtverce shodné s 2 nebo 3 modulo 4. Potom kruh celých čísel odpovídajícího kvadratického pole (označeného ) je množina lineárních kombinací tvaru ( kvadratické iracionality ), kde , s obvyklými operacemi sčítání a násobení komplexních čísel . Pokud tedy , kruh celých čísel sestává z čísel ve tvaru , kde . $D$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathbf {Q}}({\sqrt {D}})))}$ $a+b{\sqrt D}$ $a,b\in {\mathbb Z}$ $D\equiv 1{\pmod {4}}$ $a+b\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $a,b\in {\mathbb Z}$

Příklady kruhů celých čísel

Klasickým příkladem je kruh Gaussových celých čísel odpovídajících případu . Tento prsten byl poprvé popsán Gaussem kolem roku 1800, aby formuloval právo bikvadratické reciprocity . [jeden] $D = -1$
Případ (protože −3 je shodný s 1 modulo 4) odpovídá Eisensteinovým celým číslům . $D = -3$

Diskriminační

Diskriminant kvadratického pole je d , když d je shodné s 1 modulo 4 a 4d jinak. Například diskriminant Gaussova racionálního číselného pole je -4. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$

Rozklad na prvočísla v kruhu celých čísel

Jakýkoli kruh celých čísel je Dedekind , proto pro každý z jeho ideálů existuje jedinečný rozklad na prvoideály. Nechť p je prvočíslo , pak pro hlavní ideál generovaný p v ( K je libovolné kvadratické pole) jsou možné následující tři případy: ${\mathcal {O}}_{K}$

( p ) je primární ideál. Kvocientový kruh je konečným polem prvků p2 :

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p^{2}}}

( p ) se rozkládá na součin dvou odlišných prvotních ideálů.

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p}}\times {\mathbb F}_{{p}}

( p ) je druhá mocnina prvočísla. Potom podílový kruh obsahuje nenulové nilpotenty .

Třetí případ nastane právě tehdy, když p dělí diskriminant pole D (například ideál (2) je druhou mocninou ideálu (1+ i ) v okruhu Gaussových celých čísel). První a druhý případ nastanou, když je Kroneckerův symbol −1 a 1. $\left({\tfrac {D}{p}}\right)$

Poznámky

↑ Dummit, strana 229

Literatura

Duncan Buell. Binární kvadratické formy : klasická teorie a moderní výpočty . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-97037-1 . Kapitola 6.
Pierre Samuel . Algebraická teorie čísel (neopr.) . — Hermann/Kershaw, 1972.
IN Stewart; D.O. Vysoký. Algebraická teorie čísel (neopr.) . - Chapman a Hall , 1979. - ISBN 0-412-13840-9 . Kapitola 3.1.
Dummit, D.S., Foote , R.M. , 2004. Abstraktní algebra, 3. vydání.