Celý prvek

Celočíselný prvek je prvek daného komutativního kruhu s jednotou vzhledem k podkruhu , což je kořen redukovaného polynomu s koeficienty v , tedy takový , pro který existují koeficienty takové, že: $B$ $A\podmnožina B$ $A$ $b$ $a_j \in A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Pokud je každý prvek celé číslo nad , kruh se nazývá celé číslo rozšíření (nebo jen kruh, celé číslo nad ). $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Jestliže a jsou pole , pak termíny „integrální přes...“ a „integrální rozšíření“ odpovídají termínům „algebraický přes...“ a „ algebraické rozšíření “. Zvláštní případ, obzvláště důležitý v teorii čísel , je komplexní čísla , která jsou celá čísla přes , volal algebraická celá čísla . $A$ $B$ $\mathbb {Z}$

Množina všech prvků integer over , tvoří kruh; nazývá se celočíselná uzávěrka v . Celočíselný uzávěr racionálních čísel v nějakém rozšíření konečného pole se nazývá kruh celočíselných polí , tento objekt je zásadní pro algebraickou teorii čísel . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\mathbb {Q}$ $k$

Celá čísla jsou jediné prvky , které jsou více než celá čísla (což může vysvětlit použití termínu „celé číslo“). Gaussova celá čísla , jako prvky oboru komplexních čísel, jsou celá čísla nad . Celočíselný uzávěr v kruhovém poli je . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} (\zeta )$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$

Jestliže je algebraický uzávěr pole , pak je integrál přes . Jestliže konečná grupa působí na kruh kruhovými homomorfismy, pak je to celé číslo nad množinou prvků, které jsou pevnými body působení grupy. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \tečky, x_n]$ $k[x_{1},\tečky ,x_{n}]$ $G$ $A$ $A$

Vlastnosti

Integrita je tranzitivní vztah: je-li kruh integrální přes a integrální přes , pak je integrální přes . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

Existuje řada tvrzení, která jsou ekvivalentní tvrzení, že prvek kruhu je integrální přes : $b$ $B$ $A$

podkruh prstenu je konečně generovaný -modul; $A[b]$ $B$ $A$
existuje podkruh kruhu obsahující a , a který je konečně generovaným -modulem; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
existuje finitely generovaný -modul kruhu takový, že az toho vyplývá, že . $A$ $M$ $B$ $bM\subset M$ $b'M=0$ $b=0$

Z třetí vlastnosti lze snadno odvodit, že množina všech prvků integer over je podkruh (uzavřený pod sčítáním a násobením), nazývá se celočíselný uzávěr v . Pokud se celočíselný uzávěr shoduje s prstencem samotným , nazývá se integrálně uzavřený v . Z toho také vyplývá, že pokud je celé číslo nad , pak je sjednocením (nebo ekvivalentně přímým limitem ) podkruhů, které jsou definitivně generované -moduly. $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

Cohen-Seidenbergův liftingový teorém : jestliže je celočíselné rozšíření kruhu , pak pro každý prvočíslo v existuje prvočíslo v , že . $S$ $R$ $já$ $S$ $J$ $R$ $J\cap S=I$

Integrálně uzavřený prstenec

Integrálně uzavřený kroužek je integrální kroužek , integrálně uzavřený ve svém poli kvocientů .

Jestliže je integrálně uzavřený kruh s polem kvocientů a je konečným rozšířením , pak je prvek integrální nad tehdy a jen tehdy, když koeficienty jeho minimálního polynomu patří do : to je silnější podmínka než pouhý integrál, pro který platí stačí existence libovolného polynomu s touto vlastností. Jakýkoli faktoriální prstenec je integrálně uzavřen. $A$ $K$ $L$ $K$ $L$ $A$ $A$

Jestliže je noetherovský integrální kruh, pak je integrálně uzavřený právě tehdy, když (1) se shoduje s průsečíkem všech lokalizací vzhledem k prvočíslu a (2) lokalizace vzhledem k prvočíslu o výšce 1 (tj. který neobsahuje další nenulové prvoideály) je Dedekindův prsten . Noetheriánský prsten je také integrálně uzavřený tehdy a jen tehdy, když se jedná o Krullův prsten . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Normální prsten

Serre a Grothendieck definují normální prsten jako prsten, jehož lokalizace jakýmkoliv primárním ideálem je integrálně uzavřená. V takovém prstenci nejsou žádné nenulové nilpotenty [1] . Jestliže je noetherovský kruh, jehož lokalizace vzhledem k maximálním ideálům jsou integrální, pak je konečným součinem integrálních kruhů. V tomto případě, pokud je noetherovský normální kruh, pak jsou domény v součinu integrálně uzavřené [2] . Naopak přímý součin integrálně uzavřených prstenců je normální. $A$ $A$ $A$

Zcela integrálně uzavřený kroužek

Prvek podílového pole integrálního prstenu se nazývá téměř celé číslo , pokud existuje takové , že pro jakýkoli přirozený . O prstenci se říká , že je zcela integrálně uzavřen , pokud je v něm obsažen jakýkoli téměř integrální prvek nad ním . Zcela integrálně uzavřené kroužky jsou integrálně uzavřené. Naopak, noetherovské integrálně uzavřené kruhy jsou zcela integrálně uzavřené. $X$ $K$ $A$ $A$ $d\in A$ $dx^n\in A$ $n$ $A$ $A$

Okruh formálních mocninných řad nad zcela integrálně uzavřeným kruhem je zcela integrálně uzavřen, zatímco toto neplatí pro libovolné integrálně uzavřené kruhy.

Lokalita integrálně uzavřené nemovitosti

Následující podmínky pro integrální prstenec jsou ekvivalentní: $A$

$A$ celá uzavřená;
lokalizace s ohledem na jakýkoli primární ideál je integrálně uzavřená; $A$
lokalizace vzhledem k jakémukoli maximálnímu ideálu je integrálně uzavřena. $A$

Takové vlastnosti kruhu se nazývají místní vlastnosti . $A$

Poznámky

↑ Pokud lokalizace komutativního kruhu nad všemi maximálními ideály neobsahují nilpotenty (např. jsou integrální), pak je neobsahují ani je. Pokud je totiž nenulový prvek a n = 0, pak ) (prvky, jejichž násobení nuluje ) je obsaženo v nějakém maximálním ideálu . Obraz v lokalizaci w je nenulový, protože jinak pro některé je to rozpor. Proto lokalizace s ohledem na obsahuje nenulový nilpotent. $R$ $R$ $X$ $R$ $X$ $\mathrm {Ann} (x)$ $X$ $\mathfrak{m}$ $X$ $\mathfrak{m}$ $xs = 0$ $s \ne\v \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, str. 64

Literatura

Bourbaki, komutativní algebra.
Kaplanský, Irving. Komutativní kroužky (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Přednášky z matematiky). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), teorie komutativních prstenců, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vydání), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .