Kruhové pole

Kruhové pole nebo pole dělící kružnici stupně n je pole vytvořené přidáním primitivního kořene n-tého stupně jednoty k poli racionálních čísel . Kruhové pole je podpolí oboru komplexních čísel . $K_{n}={\mathbb {Q}}(u)$ ${\mathbb {Q}}$ $u$

Název pole je způsoben tím, že rozdělení jednotkové kružnice na n stejných částí se rovná sestrojení primitivního kořene jednoty n-té mocniny v komplexní rovině . Studium kruhových polí hrálo významnou roli ve vytvoření a rozvoji teorie algebraických celých čísel , teorie čísel a Galoisovy teorie .

Příklad: skládá se z komplexních čísel tvaru , kde jsou racionální čísla. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\ i$ $a,b$

Vlastnosti

Kruhové pole obsahuje všechny n-té kořeny jednoty a také výsledky aritmetických operací na nich. Nezáleží na volbě primitivní n-té odmocniny jednoty.
- Důsledek: kruhové pole je pole rozkladu polynomu . $x^n-1$
$K_{{4n+2}}=K_{{2n+1}}$ , takže se obvykle předpokládá, že zbytek, když je n děleno 4, není 2 . Za této podmínky různá n odpovídají neizomorfním kruhovým polím. $(n\ne \equiv 2{\pmod {4)))$
Pole je abelovské rozšíření pole se skupinou Galois $K_n$ ${{\mathbb Q}}$ $G(K_{n}/{{\mathbb Q)))\simeq (\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*},$

kde je multiplikativní skupina tříd zbytků modulo n . Stupeň expanze je φ( n ) ( Eulerova funkce ).

(\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*}

[K_{n}:{{\mathbb Q}}]

Kronecker-Weberova věta : Každé abelovské konečné rozšíření oboru racionálních čísel je obsaženo v nějakém kruhovém poli.

Milne, James S. Algebraická teorie čísel . Poznámky ke kurzu (1998). Archivováno z originálu 2. dubna 2012. (neurčitý)