Noetherovo lemma o normalizaci

Noetherovo normalizační lemma je výsledkem komutativní algebry , která hraje důležitou roli v základech algebraické geometrie . Ověřeno Emmy Noetherovou v roce 1926.

Toto lemma se používá při důkazu Hilbertovy nulové věty . Je to také důležitý nástroj pro studium Krullovy dimenze .

Formulace

Pro libovolné pole k a jakoukoli konečně generovanou komutativní k - algebru A existuje nezáporné celé číslo d a algebraicky nezávislé prvky y 1 , y 2 , ..., y d v A tak, že A je konečně generovaný modul nad polynomiální kruh S = k [ y 1 , y 2 , ..., y d ].

Poznámky

Celé číslo d je jednoznačně určeno; je Krullův rozměr prstenu A.
- Jestliže A je doména integrity , pak d je také míra transcendence pole kvocientů A nad k .

Geometrická interpretace

Jeden může vzít za S kruh souřadnic d - rozměrného afinního prostoru a za A souřadnicový kruh nějaké jiné d - rozměrné afinní variety X. Pak mapa inkluze indukuje surjektivní konečný morfismus afinních variet . Závěr je, že jakákoli afinní manifolda je rozvětveným krytem afinního prostoru. ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d))$ $S\to A$ ${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d))$

Je-li pole k nekonečné, pak lze takový rozvětvený kryt sestrojit převzetím generické projekce z afinního prostoru obsahujícího X na d - rozměrný podprostor.

Literatura

Noether, Emmy (1926), Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28–35 , < http: //gdz.sub.uni-goettingen/de/goettingen . load/img/?IDDOC=63971 > Archivováno 8. března 2013 na Wayback Machine
Mumford D. Červená kniha o manifoldech a schématech. — M.: MTsNMO , 2007.