Projektivní limit

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. února 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Projektivní limit ( inverzní limit ) je konstrukce používaná v různých odvětvích matematiky, která umožňuje sestavit nový objekt z rodiny (indexované řízenou množinou ) objektů stejného typu a množiny zobrazení , . Jeden z druhů limit v teorii kategorií . $X$ $X_{i}$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $i\leqslant j$

Pro projektivní limit se běžně používá následující zápis:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

Projektivní limit lze definovat v libovolné kategorii . Duální pojetí je přímý limit .

Historie

Projektivní limity se objevují v dílech Aleksandrova . [jeden]

Definice

Algebraické struktury

Pro algebraické systémy je projektivní limit definován následovně. Nechť je řízená množina (například množina celých čísel ) a každý prvek nechť je spojen s algebraickým systémem z nějaké pevné třídy (například Abelovské skupiny , moduly v daném kruhu ) a každý pár takový, že , , být spojen s homomorfismem a - identická zobrazení pro libovolné a pro kteroukoli z . Pak je nosná množina projektivní limity řízené rodiny podmnožinou přímého součinu , pro jehož prvky je každá složka ekvivalentní složkám s nižšími indexy: $já$ $\leqslant$ $i\v I$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\v I$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $f_{{ii}}$ $i\v I$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $já$ $X$ $X_{i}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

Existují kanonické projekce , které vybírají tu komponentu přímého součinu pro každý . Tyto projekce musí být homomorfismy, na jejichž základě je možné obnovit přidanou algebraickou strukturu na projektivní limitě. $\pi_i\dvojtečka X \to X_i$ $i$ $i\v I$

Obecný případ

V libovolné kategorii lze projektivní limitu popsat pomocí její univerzální vlastnosti . Nechť je rodina objektů a morfismů kategorie C splňující stejné požadavky jako v předchozím pododdílu. Potom se nazývá projektivní limit systému , nebo , pokud jsou splněny následující podmínky: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

existuje taková rodina mapování , že pro jakékoli ; $\pi _{i}:X\to X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
pro jakoukoli rodinu mapování , libovolný objekt , pro který platí rovnost pro kteroukoli , existuje jedinečné mapování , které pro všechny . $\psi _{i}:Y\to X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\to X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ $i\v I$

Obecněji, projektivní limita je limita v kategorickém smyslu pro systém . $(X_{i},f_{{ij}})$

Příklady

Integer -adická čísla jsou projektivní limita posloupnosti s přirozeným zobrazením formy "beroucí zbytek" v . $p$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _{{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
Prstenec formálních mocninných řad nad komutativním prstencem je projektivní limit prstenů indexovaných přirozenými čísly s přirozenými projekcemi . $\textstyle R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
Cantorova množina je homeomorfní k projektivnímu limitu součinů dvoubodových množin (s diskrétní topologií ) s projekcemi na několik prvních souřadnic jako zobrazení.
Profinitní grupy jsou definovány jako projektivní limity konečných (diskrétních) grup.
V kategorii topologických prostorů jsou projektivní limity dány počáteční topologií na odpovídající podpůrné množině.

Poznámky

↑ Aleksandrov P.S., “Ann. matematiky. “, 1928, v. 30, str. 101-87.

Literatura

McLane S. Kapitola 3. Univerzální konstrukce a limity // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Projektivní limit - článek z Encyklopedie matematiky . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Odvozené funktory inverzních limit revisited // J. London Math. Soc .. - 2006. - T. 73 , č. 1 . - S. 65-83 . - doi : 10.1112/S0024610705022416 .