Spinor skupina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. března 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Spinorová skupina je podmnožinou prvků Cliffordovy algebry nad (se skalárním součinem ) sestávající z prvků tvaru , kde jsou jednotkové vektory . Operace ve spinorové skupině je násobení v Cliffordově algebře. $PROTI$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$ $q_{i}\in V$

Spinorová skupina nad euklidovským prostorem je obvykle označena . Existuje krátká přesná sekvence $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {Spin} (n)$

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Spinorová skupina je tedy dvouvrstvým krytem speciální ortogonální skupiny . Homomorfismus lze zkonstruovat následovně: Každý jednotkový vektor q může být spojen s odrazem vzhledem k nadrovině kolmé k q . Prvek spinorové skupiny tedy může být spojen se skladbou odrazů $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ ${\displaystyle R_{q))$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n))

který patří do skupiny . Projektivní reprezentace kryté skupiny jsou v individuální korespondenci s reprezentacemi jejího krytí . $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {SO} (n)$ $\operatorname {Spin} (n)$

Struktura prvních spinorových skupin

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1))

\operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}

{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3))

\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)