Přesné pořadí

Přesná posloupnost je posloupnost algebraických objektů s posloupností homomorfismů tak, že pro všechny se obraz shoduje s jádrem (pokud oba homomorfismy s takovými indexy existují). Ve většině aplikací hrají roli komutativní grupy , někdy vektorové prostory nebo algebry nad prstenci . $G_{i}$ $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ $i$ $\varphi _{i-1}$ $\varphi _{i}$ $G_{{i}}$

Související definice

Přesné typové sekvence $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

se nazývají krátké přesné sekvence , v tomto případě monomorfismus a epimorfismus .

\varphi

\psi

Navíc, pokud y má pravý inverzní morfismus nebo y má levý inverzní morfismus, pak může být identifikováno s takovým způsobem, že je identifikováno s kanonickým vnořením v , as kanonickou projekcí na . V tomto případě se o krátké přesné sekvenci říká, že je rozdělení . $\varphi$ $\psi$ $B$ $A\oplus C$ $\varphi$ $A$ $A\oplus C$ $\psi$ $A\oplus C$ $C$

Dlouhá přesná sekvence je přesná sekvence s nekonečným počtem objektů a homomorfismů.
Pokud se pak sekvence nazývá semi-exaktní . $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$

Příklady

V teorii homotopických grup má velký význam přesná posloupnost páru , zejména přesná posloupnost svazku . Pokud je lokálně triviální svazek s vláknem , pak následující sekvence homotopických skupin je přesná [1] : $F\to M\to B$ $B$ $F$

\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F )\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)

Přesná Maier-Vietorisova sekvence má velký význam pro výpočet skupin homologie komplexních prostorů:

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xšipka doprava {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xšipka doprava {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xšipka doprava {\částečná _{*))}\\&\kvadratická {\xšipka doprava {\částečná _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xarrowarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}

Řetězový komplex je semi-přesná sekvence abelovských skupin.
Nechť je lokálně triviální svazek rozdělovačů . Poté se spojí [2] s krátkou přesnou sekvencí svazků $E\to X$

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

a jeho dvojí

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Zde je svazek tečny k manifoldu a jsou vertikální a horizontální svazky k . označuje duální svazek ( kotangens atd.).

TE

E

VX

HX

X

^{*}

Exponenciální přesná posloupnost

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 ,

kde u je svazek holomorfních funkcí na komplexní varietě a její podsvazek sestávající z nikde mizejících funkcí

{\mathcal {O}}_{M}

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

M

Literatura

↑ Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971.
↑ G. A. Sardanashvili Moderní metody teorie pole. Svazek 1: Geometrie a klasická pole, - M. : URSS, 1996. - 224 s.