Epimorfismus

Epimorfismus v kategorii je morfismus takový, že každá rovnost implikuje (jinými slovy, on může být zrušen zprava). $m:A\do B$ $f\circ m=h\circ m$ $f=h$ $m$

Epimorfismy jsou kategorickou analogií konceptu surjektivní funkce , ale nejsou totéž. Dvojí k pojetí epimorfismu je pojetí monomorfismu ; Epimorfismus, který je také monomorfismus, se nazývá bimorfismus .

Příklady

Každý morfismus v určité kategorii , kterému odpovídá surjektivní funkce, je epimorfismus. Například surjektivní homomorfismus skupin nebo grafů . V mnoha kategoriích to platí i obráceně. To platí například pro kategorie množin, skupin, abelovských skupin , vektorových prostorů , pravých modulů a topologických prostorů. Nicméně například v kategorii prstenů je vložení nesurjektivní epimorfismus (a navíc bimorfismus , který není izomorfismus ). $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$

Vlastnosti

Jakýkoli morfismus, který má pravou inverzi, je epimorfismus. Pokud skutečně existuje morfismus takový, že , pak je snadné ověřit, že jde o epimorfismus, vynásobením rovnosti vpravo . Složení dvou epimorfismů je opět epimorfismus. Pokud je složení dvou morfismů epimorfismem, pak to musí být epimorfismus. $j:Y\to X$ $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$ $m$ $f\circ m=h\circ m$ $j$ $m\circ j$ $m$

Jako mnoho konceptů v teorii kategorií je epimorfismus zachován pod kategorií ekvivalence , je epimorfismem v jedné kategorii právě tehdy, pokud je epimorfismem v jiné kategorii. $m$

Definici epimorfismu lze přeformulovat následujícím způsobem: - epimorfismus tehdy a pouze tehdy, když indukované zobrazení: $m:X\to Y$

{\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapto &gm\end{matrix))

injektivní pro každého . $Z$

Literatura

McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .