Domněnka

Surjekce nebo surjektivní mapování (z francouzštiny sur „on, over“ + latinsky jacio „házím“) je mapování množiny na množinu , ve kterém každý prvek množiny je obrazem alespoň jednoho prvku množiny , to je ; jinými slovy funkce , která nabývá všech možných hodnot. Někdy se říká, že surjektivní mapa mapuje k ( injektivní mapa mapuje obecně ) . $X$ $Y$ $(f\dvojtečka X\to Y)$ $Y$ $X$ $\forall y\in Y\;\existuje x\in X:y=f(x)$ $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

Mapování je surjektivní právě tehdy, když se obraz množiny pod mapováním shoduje s : . Také surjektivita funkce je ekvivalentní existenci pravého inverzního zobrazení na . $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $F$ $Y$ $f(X)=Y$ $F$ $F$

Přísně vzato je pojem surjekce vázán na množinu : je správné říkat místo obvykle povolené svobody slova „surjekce“ přesné „surjection on “. Ve skutečnosti je jasné, že každé zobrazení je surjekce na svém obrázku : if , then je surjekce na , protože je také formální podle definice zobrazení. $f\dvojtečka X\to Y$ $Y$ $Y$ $Z=\{y:f(x)=y\}$ $f\dvojtečka X\to Y$ $Z$ $f\colon X\to Z$

Koncept surjekce (spolu s injekcí a bijekcí ) byl zaveden do použití v dílech Bourbakiho a stal se rozšířeným téměř ve všech odvětvích matematiky.

Příklady

$f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$ -předmětně.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ -předmětně.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — není surjektivní (například neexistuje takové , že ). $x\in \mathbb {R}$ $f(x)=-9$

Aplikace

V topologii je důležitý pojem svazku definován jako libovolné spojité surjektivní mapování topologických prostorů (prostor svazku do svazkového základu).
Uspořádání vztahů mnoho ku jedné mezi tabulkami v entitách relačního datového modelu lze považovat za surjektivní funkci.

Zobecnění

V teorii kategorií je pojem surjekce zobecněn v pojmu epimorfismus , navíc v některých kategoriích se tyto pojmy shodují.

Literatura

N. K. Vereščagin, A. Šen. Počátky teorie množin // Přednášky z matematické logiky a teorie algoritmů . (nedostupný odkaz)
Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matematická logika: učebnice. - 3., stereotyp. vyd. - Petrohrad. : Lan, 2004. - 336 s.