Ekvivalence kategorií

Ekvivalence kategorií v teorii kategorií je vztah mezi kategoriemi , který ukazuje, že dvě kategorie jsou „v podstatě stejné“. Stanovení ekvivalence svědčí o hlubokém propojení odpovídajících matematických pojmů a umožňuje „přenášet“ věty z jedné struktury do druhé.

Definice

Pro dvě kategorie C a D je jejich ekvivalence dána, jsou-li dán funktor F : C → D , funktor G : D → C a dva přirozené izomorfismy ε: FG → I D a η : I C → GF . Zde I C : C → C a I D : D → D jsou shodné funktory na C a D , v tomto pořadí. Jsou-li F a G kontravariantní funktory, definuje to dualitu kategorií .

Ekvivalentní formulace

Lze ukázat, že funktor F : C → D definuje ekvivalenci kategorie právě tehdy, když:

zcela unikátní a
je hustý, to znamená, že ve třídě izomorfismu jakéhokoli prvku d kategorie D existuje objekt, který má předobraz v C působením F .

Toto je nejčastěji používané kritérium, protože nevyžaduje explicitní konstrukci "inverzního" funktoru a dvou přirozených transformací. Na druhou stranu, ačkoli výše uvedená vlastnost zaručuje existenci ekvivalence, některá data jsou ztracena, protože někdy lze ekvivalenci provést různými způsoby. Proto se funktor F s takovými vlastnostmi někdy nazývá ekvivalence slabé kategorie .

Jiná formulace využívá koncept adjungovaných funktorů : F a G definují ekvivalenci kategorií právě tehdy, když jsou oba zcela univalentní a jsou adjungované.

Příklady

Mezi kategorií jednoho objektu a jednoho morfismu a kategorií dvou objektů a čtyřmi morfismy: dvěma identickými a dvěma izomorfismy můžete stanovit ekvivalenci, například take , send to a , posílat vše na . Nicméně například kategorie není ekvivalentní kategorii dvou objektů a dvou identických morfismů. $C$ $C$ $1_{c}$ $D$ ${\displaystyle d_{1))$ ${\displaystyle d_{2))$ $1_{d_{1))$ $1_{d_{2))$ $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1))$ $F$ $C$ ${\displaystyle d_{1))$ $G$ $D$ $C$ $C$
Nechť kategorii tvoří jeden objekt a dva morfismy , kde . Potom definuje přirozený izomorfismus sám se sebou (netriviální, protože působí na morfismy neidentickým způsobem). $C$ $C$ $1_{c},f\dvojtečka c\to c$ $f\circ f=1$ $F$ $\mathbf {I} _{C}$
Kategorie konečnorozměrných reálných vektorových prostorů a kategorie (objekty jsou přirozená čísla, morfismy jsou matice příslušné dimenze) jsou ekvivalentní: funktor přiřazuje vektorovému prostoru jeho dimenzi (která odpovídá volbě v každém bázovém prostoru). $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $F\colon C\to D$
Jedním z ústředních témat algebraické geometrie je dualita kategorií afinních schémat a komutativních kruhů . Odpovídající funktor pošle prsten do jeho spektra, schématu tvořeného prvočíselnými ideály .

Vlastnosti

Při ekvivalenci kategorií jsou zachovány všechny „kategorické“ vlastnosti: například vlastnost být počátečním objektem , monomorfismus , limita nebo vlastnost kategorie být topos .

Jestliže F : C → D je ekvivalence kategorií a G 1 , G 2 jsou „obrácené“ k F , pak G 1 a G 2 jsou přirozeně izomorfní.

Literatura

Ekvivalence kategorií - článek z Encyklopedie matematiky
McLane S. Kapitola 4. Adjungované funktory // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .