Schéma (matematika)

Schéma je matematická abstrakce , která vám umožňuje propojit algebraickou geometrii , komutativní algebru a diferenciální geometrii a přenést myšlenky z jedné oblasti do druhé. Primárně pojem schéma umožňuje přenést geometrickou intuici a geometrické konstrukce, jako jsou tenzorová pole , svazky a diferenciály , do teorie prstenů . Historicky teorie schématu vyvstávala s cílem zobecnit a zjednodušit klasickou algebraickou geometrii italské školy 19. století, která se zabývala studiem polynomických rovnic .

Hlavním aparátem teorie schémat je teorie kategorií , teorie svazků , komutativní a homologická algebra .

V následujícím textu slovo "kruh" vždy znamená "komutativní asociativní kruh s jednotkou".

Historie a motivace pro definici

Algebraické geometry italské školy používali při dokazování teorémů o algebraických rozmanitostech poněkud vágní představu o „ společném bodu “ . Předpokládalo se, že výroky, které jsou pravdivé pro obecný bod, jsou pravdivé pro všechny body variety, kromě malého počtu „speciálních“ bodů. Emmy Noether ve dvacátých letech minulého století navrhla způsob, jak tento koncept objasnit: v kruhu souřadnic algebraické variety (tj. v kruhu polynomiálních funkcí na variety) maximální ideály odpovídají bodům variety a nemaximální prvoideály odpovídají k různým společným bodům, jeden pro každou pododrůdu. Noether však tento přístup nevyvinul.

Ve 30. letech 20. století Wolfgang Krull udělal další krok: tím, že vezmeme zcela libovolný komutativní prstenec, lze uvažovat o souboru jeho hlavních ideálů, poskytnout Zariského topologii a vyvinout geometrii těchto obecnějších objektů. Jiní matematici neviděli smysl v tak velké obecnosti a Krull tuto myšlenku opustil.

V padesátých létech, Jean-Pierre Serre , Claude Chevallet a Masayoshi Nagata , aby se dostal blíže k dokazování Weyl dohady , začal používat podobný přístup, zacházet s primárními ideály jako body. Podle Pierra Cartiera bylo slovo schéma poprvé použito v roce 1956 na Chevalleyově semináři [1] .

V návaznosti na to Alexander Grothendieck podal moderní definici obvodu, shrnující předchozí experimentální návrhy. Stále definuje spektrum komutativního kruhu jako soubor primárních ideálů se Zariskiho topologií, ale také mu dodává svazek kruhů: každá otevřená podmnožina spektra je spojena s komutativním kruhem, analogicky s kruhem polynomu. funkce na této sadě. Výsledné objekty jsou afinní schémata; obecná schémata se získají slepením několika afinních schémat, analogicky s tím, jak se obecné algebraické variety získávají slepením afinních variet a běžné variety slepením otevřených podmnožin . $\mathbb {R} ^{n}$

Mnozí tuto definici kritizovali za příliš obecnou: některá schémata v tomto smyslu nemají zřejmý geometrický výklad. Zohlednění těchto schémat však činí vlastnosti kategorie všech schémat „rozumnějšími“. Studium moduli prostorů navíc vede ke schématům, která nejsou „klasická“. Potřeba uvažovat o schématech, která samy o sobě nejsou algebraickými varietami (ale jsou vytvořeny z variet), vedla k postupnému přijetí nové definice.

Definice

Jedním ze základních konceptů teorie schémat jsou lokálně prstencové prostory .

Prstencový prostor je topologický prostor , na kterém je dán svazek kruhů, nazývaný strukturní svazek . O prostoru se říká , že je místně prstencovaný , pokud je vlákno snopu v každém bodě místním prstencem . Hlavními předměty studia v diferenciální geometrii a topologii jsou lokálně prstencové prostory; v tomto případě se odpovídající svazek funkcí chová jako strukturální svazek . Například topologické prostory odpovídají svazku spojitých funkcí , hladké variety svazku hladkých funkcí , komplexní variety svazku holomorfních funkcí . Tvrzení, že list snopu je místní prstenec znamená, že pro jakýkoli prvek prstence snopu struktury lze v každém bodě určit jeho hodnoty, které patří do nějakého pole , takže prvky snopu struktury skutečně mohou považovat za funkce. Všimněte si, že v obecném případě taková „funkce“ není určena svými bodovými hodnotami, ačkoli v klasické geometrii neexistuje analogie k tomuto jevu.

Affine schéma je místně prstencový prostor izomorfní ke spektru nějakého prstenu s jeho odpovídajícím strukturálním svazkem . Tyto definice nám umožňují považovat libovolnou otevřenou podmnožinu za schéma, zatímco pro afinní schémata platí identita , což znamená ekvivalenci geometrického a algebraického pohledu na prstenec (jmenovitě každý prstenec může být spojen s afinním schématem a afinní schéma může jedinečně obnovit původní prsten). ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathrm {Spec}}\;A}} ({\mathrm {Spec}}\;A)=A$

Schéma je lokálně zakroužkovaný prostor , který může být pokryt otevřenými množinami tak, že každý , spolu s omezením svazku struktury na něj, je afinní schéma. Tuto definici lze chápat různými způsoby: lze uvažovat, že každý bod schématu má sousedství , což je afinní schéma, a lze také uvažovat o schématu jako o výsledku slepení sady afinních schémat v souladu s struktura snopu. $(X, {\mathcal O}_{X})$ $U_{i}$ $U_{i}$ ${\mathcal O}_{X}$

Kategorie schémat

Schémata tvoří kategorii, jejíž morfismy jsou morfismy schémat jako místně prstencových prostorů .

Konstrukce vybavující spektrum strukturním svazkem definuje kontravariantní funktor :

{\mathrm {Spec}}\colon {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Aff}}

z kategorie prstenů do kategorie afinních schémat. Existuje také inverzní kontravariantní funktor:

{\mathcal {O}}\colon {\mathrm {Aff}}\to {\mathrm {CRing}}

( globální funktor sekce ),

který přiřazuje lokálně prstencovému prostoru prstenec jeho strukturálního svazku. Tato dvojice funktorů definuje ekvivalenci kategorie . Funktor globální sekce lze definovat pro libovolná schémata, protože každé schéma je lokálně okrouhlý prostor. V této obecnosti je funktor spektra správně konjugován s funktorem globální sekce: $(X, {\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}_{X} (X)$ ${\mathrm {CRing^{{op))))\simeq {\mathrm {Aff}}$

{\mathrm {Hom}}_{{{\rm {Schémata}}}}(X,\;{\mathrm {Spec}}\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{\rm {CRing^{{op))))))({\mathcal {O}}(X),\;A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{({\rm {CRing}}}}}( A,\;{\mathcal {O}} (X))

Předpokládá se, že spektrum je správně konjugované, protože slepení afinních schémat může generovat schémata, která nejsou afinní. Lepení obvodů prázdným podobvodem je colimit v kategorii obvodů. Protože je cocomplete , pak za podmínky levé konjugace spektra by jakékoli slepování afinních schémat bylo afinní a netriviální (neredukovatelná na teorii kruhu) teorie schémat prostě nemohla existovat. Ve světle toho, co bylo řečeno, také poznamenáváme, že ačkoli diagram lepení afinních schémat podschématem leží v kokompletní kategorii afinních schémat, musí být jeho limit počítán ve větší kategorii, kategorii všech schémat. Toto je poučný příklad toho, že funktor vnoření kategorií není vyžadován k zachování limit. ${\mathrm {CRing}}^{{op}}$

Existence adjungovaných funktorů výše nám umožňuje popisovat morfismy od libovolného schématu k afinnímu pomocí kruhových homomorfismů . Například, protože je počátečním objektem kategorie komutativních kruhů, je koncovým objektem kategorie schémat. $\mathbb {Z}$ ${\mathrm {Spec}}\;{\mathbb Z}$

Kategorie schémat má konečné součiny , nicméně při jejich používání je třeba být opatrný, protože topologický prostor odpovídající schématu není vždy izomorfní s topologickým prostorem , ale často má „více“ bodů. Pokud je například K pole devíti prvků , pak: $(X,{\mathcal O}_{X})\krát (Y,{\mathcal O}_{Y})$ $X\krát Y$

{\mathrm {Spec}}\;K\times {\mathrm {Spec}}\;K\cong {\mathrm {Spec}}\;K\otimes _{({\mathbb Z}}}K\cong { \mathrm {Spec}}\;K\times K

—

sestává ze dvou bodů, zatímco Spec K se skládá z jednoho bodu (nulový ideál).

Pro pevné schéma S má kategorie schémat nad S také vláknové produkty a ze skutečnosti, že má koncový objekt S , vyplývá, že v ní existují všechny konečné limity , to znamená, že kategorie schémat nad daným schématem je definitivně kompletní .

Druhá definice schémat

V algebraické geometrii jsou schémata obvykle definována výše popsaným způsobem. V některých jeho aplikacích (například v teorii lineárních algebraických grup ) je však užitečnější jiný přístup, který je mnohem abstraktnější a vyžaduje dobrou znalost teorie kategorií. Schéma je v tomto jazyce definováno nikoli jako geometrický objekt, ale jako funktor z kategorie kruhů. Tímto přístupem se zde nebudeme podrobně zabývat, podrobnosti viz kniha [2] .

Afinní schéma je reprezentovatelný funktor : ${\mathrm {Spec}}\;A$ ${\mathrm {Spec}}\;A\dvojtečka {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Sada}}$

({\mathrm {Spec}}\;A)(R)={\text{Hom}}(A,R)

Mezi všemi funktory vyniká zvláště důležitá a snadno studovatelná třída zvaná schémata. Schéma je totiž funktor , který je svazkem množin vzhledem ke Grothendieck topologii generované Zariski-otevřenými epimorfismy kruhů a pokrytými Zariski-otevřenými zobrazeními afinních schémat v kategorii funktorů . Schémata, která nejsou afinní, jsou nereprezentovatelné funktory na kategorii kruhů. Schématický morfismus je definován jako přirozená transformace odpovídajících funktorů. Podle Yonedova lemmatu $X$ $X\dvojtečka {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Sada}}$ $\left[{\mathcal {R}}ing;{\mathcal {S}}et\right]$

X(A)=\left[(A;\cdot );X\right]=\left[{\mathrm {Spec}}A;X\right]

Toto tvrzení zakládá souvislost s výše uvedenou geometrickou teorií schémat, protože základní věta o morfismech schémat říká, že funktor

Y\dvojtečka {\mathrm {Schémata}}\to \left[{\mathrm {Aff}}^{{op}};{\mathrm {Sada}}\right]

Y(X)=\vlevo(\cdot ;X\vpravo)

je celkem univalentní . Navíc obrazem vnoření jsou právě ty funktory na afinních schématech, které splňují výše uvedené podmínky.

Příklady

Afinní čára je zapomnětlivý funktor , který přiřazuje každému kruhu jeho předmětovou množinu. Struktura prstenu na něm definuje strukturu prstenu na množině pro libovolné schéma , proto se nazývá prstenec funkcí na . Afinní čára je afinní schéma, odpovídá spektru polynomického kruhu . $Ó$ $O\dvojtečka {\mathrm {CRing}}\to {\mathrm {Sada}}$ $[X;O]$ $X$ $[X;O]$ $X$ $\mathbb{Z } [T]$
Grassmannian ( je dimenze Grassmannianu) je funktor, který přiřazuje kruhu množinu přímých sčítanců hodnosti v modulu . Šipka se přiřadí k displeji . Zejména je n-rozměrný projektivní prostor , je projektivní čára . $G_{{r,n}}$ $n$ $R$ $P$ $r$ $R^{{r+n}}$ $\phi :R\to S$ $P\mapsto P\otimes _{R}S$ $\mathbb {P} _{n}=G_{1,n}$ $\mathbb {P} _{1}$

Poznámky

↑ Schéma ve smyslu Chevalley je zvláštním případem moderního schématu: jeho definice funguje pouze pro neredukovatelné variety. Viz Cartier, Pierre , Práce šíleného dne: od Grothendiecka po Connes a Kontsevich. Evoluce konceptů prostoru a symetrie. — Býk. amer. Matematika. Soc., 38 (2001), no. 4, str. 398.
↑ M. Demazure, P. Gabriel. Úvod do algebraické geometrie a algebraických grup. - North-Holland Publishing Company, 1980. - 357 s. - ISBN 0-444-85443-6 .

Literatura

Mumford D. Červená kniha odrůd a schémat. — M .: MTSNMO , 2007. — 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraická geometrie = Algebraická geometrie. — M .: Mir , 1981. — 597 s.
Shafarevič I. R. Základy algebraické geometrie. - 2. vyd. - M. : Nauka , 1988. - V. 2. Schémata. Komplexní rozvody. — 304 s. - 5900 výtisků. - ISBN 5-02-014412-4 .
David Eisenbud; Joe Harris . Geometrie schémat. Springer-Verlag, 1998 - ISBN 0-387-98637-5 .

Odkazy

Ravi Vakil , Matematika 216: Základy algebraické geometrie (verze 6/11/2013) – poznámky z kurzu algebraické geometrie na Stanfordské univerzitě .