Projektivní linie

Projektivní čára je jednorozměrný projektivní prostor . Projektivní čára je soubor čar (jednorozměrných podprostorů) ve 2rozměrném lineárním prostoru. Body projektivní přímky lze zadat pomocí homogenních souřadnic . Jako topologický prostor je projektivní čára jednobodovým zhutněním afinní čáry . $[x_{1}:x_{2}]$

Příklady

Skutečná projektivní linie s tužkou hladkých funkcí je hladký rozdělovač . Tato varieta je difeomorfní ke kruhu . Komplexní projektivní čára - Riemannova koule - jako skutečná varieta, je difeomorfní k dvourozměrné kouli . Pro šikmé pole kvaternionů je projektivní přímka jako skutečná varieta . $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $S^{2}$ ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4))$

Akce skupin na projektivní čáře

Pro skupiny atd. lze definovat akci na projektivní linii. Faktorizací na skupinu skalárních matic získáme skupiny, pro které je tato akce přesná. Pro konečné pole je izomorfní k nějaké podgrupě konečné symetrické grupy [1] . $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$ $PSL_{2}(k)$

V algebraické geometrii

Projektivní linie je důležitým příkladem projektivní odrůdy . Pole funkcí projektivní přímky je polem racionálních funkcí. Skupina automorfismu pole je grupa . Pokud nedegenerovaná kvadratická křivka obsahuje alespoň jeden bod, pak je biracionálně izomorfní k projektivní přímce. $P^{1}(K)$ $K(X)$ $K(X)$ $PGL_{2}(K)$

Poznámky

↑ Bogopolsky O.V. Úvod do teorie grup. — 2002.

Literatura

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie - M .: Nauka 1986.
Matematická encyklopedie, 1984, svazek 4, str. 671, článek Projektivní čára.
Hartshorne R. Algebraická geometrie - M .: Mir, 1981.