Modulový prostor

Moduli prostor v algebraické geometrii je geometrický prostor (například schéma , komplexní nebo algebraický prostor), jehož body odpovídají nějaké třídě algebraicko-geometrických objektů , faktorizovaný nějakým vztahem ekvivalence . Takové prostory často vznikají jako řešení klasifikačních problémů: pokud soubor objektů, které nás zajímají (například hladké algebraické křivky rodu , považované až za izomorfismus $A$ $R$ $G$ ) lze opatřit strukturou geometrického prostoru, pak lze tyto objekty parametrizovat zadáním souřadnic na tomto prostoru. V tomto kontextu je termín „moduly“ synonymem termínu „parametry“: moduli prostory byly původně chápány jako prostory parametrů, nikoli prostory objektů.

Historie

Teorie modulů vznikla při studiu eliptických funkcí : existuje rodina různých polí eliptických funkcí (nebo jejich modelů - neizomorfních eliptických křivek přes ), parametrizovaných komplexními čísly. Bernhard Riemann , který vlastní samotný termín „moduly“, ukázal, že kompaktní Riemannovy povrchy rodu závisí na komplexních parametrech – modulech . $\mathbb {C}$ $g\geqslant 2$ $3g-3$

Definice

Nechť je nějaké schéma (komplexní nebo algebraický prostor). Rodina objektů parametrizovaných schématem (nebo, jak se často říká, nad nebo se základnou ) je sada objektů opatřená další strukturou konzistentní se strukturou základny . Tato struktura je výslovně specifikována v každém konkrétním případě. Funktor modulu (nebo funktor rodiny ) je kontravariantní funktor z kategorie schémat (nebo prostorů) do kategorie množin, definovaný následovně: je množina tříd izomorfních rodin nad , a zobrazení je spojeno s morfismem odebráním indukované rodiny. $S$ $S$ $S$ $S$ ${\displaystyle \{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\))$ $S$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}(S)$ $S$ $f:S\to T$ $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$

Pokud je funktor moduli reprezentovatelný pomocí schématu (nebo mezery) , pak se nazývá tenký modulový prostor pro funktor . V tomto případě existuje univerzální rodina se základnou , tj. libovolná rodina se základnou je vyvolána rodinou pomocí jediného mapování . ${\mathcal {M}}$ $M$ $M$ ${\mathcal {M}}$ $U$ $M$ $T$ $S$ $U$ $f:S\to M$

Funktor moduli je reprezentovatelný jen velmi málo případů, v souvislosti s tím byl také zaveden koncept hrubého modulového prostoru . Schéma se nazývá hrubý modulový prostor pro funktor . pokud dojde k přirozené přeměně takové, že $M$ ${\mathcal {M}}$ $\varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)$

jestliže je algebraicky uzavřené pole , pak je zobrazení bijektivní; $K$ $\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}} (\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K, M)$
pro libovolné schéma a přirozenou transformaci existuje jedinečný morfismus takový , že související přirozená transformace vyhovuje . $M'$ $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ $\pi :M\to M'$ $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ $\varphi =\Pi \circ \varphi '$

Uzavřené body diagramu hrubého modulu intuitivně odpovídají prvkům a geometrie tohoto diagramu odráží, jak se objekty třídy mohou lišit v rodinách. Na druhou stranu, univerzální rodina již nemusí existovat přes hrubé schéma modulů. $A/R$ $A$

Příklady

Křivky

Nechť (respektive ) je množina tříd izomorfních projektivních hladkých spojených křivek (respektive stabilních křivek ) rodu nad algebraicky uzavřeném poli . Rodina overs je hladký (plochý) správný morfismus , jehož vlákna jsou hladké (stabilní) křivky rodu . Pak existuje hrubé schéma modulů (respektive ), což je kvaziprojektivní (projektivní) neredukovatelná a normální varieta nad . [jeden] ${\displaystyle A/R=\mathbf {M} _{g))$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {M} _{g))))$ $g\geqslant 2$ $K$ $S$ $f:X\to S$ $G$ ${\displaystyle M_{g))$ ${\displaystyle {\overline {M_{g))))$ $K$

Vektorové svazky

Dovolit být soubor tříd izomorfních vektorových svazků pozice na algebraické rozmanitosti . Rodina přes je vektorový balíček na . V případě, kdy je nesingulární projektivní křivka nad algebraicky uzavřeným polem, existuje normální projektivní varieta , což je hrubý modulový prostor semistabilních vektorových svazků úrovně a stupně na . Stabilní vektorové svazky jsou parametrizovány otevřenou hladkou podmanifoldou . Jestliže a jsou coprime, shoduje se s a je tenký modulový prostor [2] . $A/R$ $n$ $X$ $S$ $X\times S$ $X$ ${\displaystyle {\overline {M_{d,n))))$ $n$ $d$ $X$ ${\displaystyle M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n))))$ $d$ $n$ ${\displaystyle M_{d,n))$ ${\displaystyle {\overline {M_{d,n))))$

Poznámky

↑ Deligne, Pierre; Mumford, David. Neredukovatelnost prostoru křivek daného rodu // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - Paříž, 1969. - Sv. 36. - S. 75-109.
↑ P.E. Newstead. Úvod do problematiky modulů a orbitálních prostorů. — Springer-Verlag, 1978.

Literatura

Modulová teorie - článek z Encyklopedie matematiky . V. A. Iskovskikh
J. Harris, I. Morrison. Křivkové moduly. Úvodní kurz / os. z angličtiny. vyd. S. K. Lando. — Moskva: Mir, 2004.
K. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. Vektorové svazky na komplexních projektivních prostorech / per. z angličtiny. vyd. Yu I. Manina. - Moskva: Mir, 1984.