Weilovy hypotézy

Weilovy dohady jsou matematické domněnky o místních zeta funkcích projektivních variet nad konečnými poli .

Weylovy dohady říkají, že místní zeta funkce musí být racionální , splňovat funkční rovnici a mít jejich nuly ležet na kritických liniích. Poslední 2 hypotézy jsou podobné Riemannově hypotéze pro Riemannovu zeta funkci .

Hypotézy v obecné formě formuloval André Weil v roce 1949, racionalitu dokázal Bernard Dwork v roce 1960, funkcionální rovnici Alexander Grothendieck v roce 1965, obdobu Riemannovy hypotézy Pierre Deligne v roce 1974 [1] .

Prohlášení Weylových hypotéz

Dovolit být nesingulární - dimenzionální projektivní algebraické odrůdy přes konečné pole . Jeho funkce kongruence zeta je definována jako $X$ $n$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k} \že jo),

kde je počet bodů nad -rozměrným rozšířením pole . Místní funkce zeta . $N_{k}$ $X$ $k$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $\mathbb {F} _{q}$ $\zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})$

Weylovy hypotézy říkají následující:

1. (Racionalita) je racionální funkce . Přesněji řečeno, může být reprezentován jako konečný produkt $Z(X,\;T)$ $T$ $Z(X,\;T)$

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1))={\frac {P_ {1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},

kde každý je polynom s celočíselnými koeficienty. Navíc , a pro všechny přes , a jsou některá algebraická celá čísla . $P_{i}(T)$ $P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T$ $i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1$ $P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ $\mathbb {C}$ $\alpha _{ij}$

2. (Funkční rovnice a Poincarého dualita ) Funkce zeta splňuje vztah

\zeta (X,\;ns)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)

nebo ekvivalent

Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\; T),

kde je Eulerova charakteristika (index vlastního průniku úhlopříčky v ). $E$ $X$ $\Delta (X)$ $X\krát X$

3. (Riemannova hypotéza) pro všechny . Z toho vyplývá, že všechny nuly leží na "kritické čáře" . $i,\;j$ $|\alpha _{i}|=q^{i/2}$ $P_{k}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} s=k/2$

4. (Bettiho čísla) Je- li dobrá redukce modulo nesingulární projektivní varieta definovaná přes nějaké číselné pole vložené do oboru komplexních čísel , pak stupeň , kde je Bettiho číslo prostoru komplexních bodů . $X$ $p$ $Y$ $\deg P_{i}=\beta _{i}(Y)$ $\beta _{i}$ $Y$

Poznámky

↑ Deligne, Pierre . La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : journal. - Bures-sur-Yvette: Institut des hautes études scientifiques , 1974. - Sv. 43. - S. 273-307. — ISSN 0073-8301 . - doi : 10.1007/BF02684373 . — . — MR 340258 Archivováno 3. listopadu 2021 na Wayback Machine

Literatura

Hartshorne R. Algebraická geometrie. — M .: Mir, 1981. — 597 s.