Injekce (matematika)

Injekce ( injektivní mapování ) v matematice je zobrazení množiny do množiny ( ), ve kterém se různé prvky množiny překládají do různých prvků množiny , to znamená, že pokud se dva obrázky během mapování shodují, pak se předobrazy shodují . : . $F$ $X$ $Y$ $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Šipka doprava x_{1}=x_{2}$

Injekce se také nazývá vložení nebo mapování jedna ku jedné (na rozdíl od bijekce , která je jedna ku jedné ). Na rozdíl od surjection , o kterém se říká, že mapuje jednu sadu na druhou, je podobná fráze o injekci formulována jako mapování do . $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $Y$

Injekce může být také definována jako mapování, pro které existuje levá inverze , tedy injektivně, pokud existuje taková, že složení . $f\dvojtečka X\to Y$ $g\dvojtečka Y\to X$ $g\circ f=\jméno operátora{id}_X$

Pojem injekce (spolu s surjekcí a bijekcí ) byl představen v dílech Bourbakiho a stal se rozšířeným téměř ve všech odvětvích matematiky.

Příklady

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( přirozený logaritmus ) - injektivní a surjektivní (zde - množina kladných čísel ). $\mathbb {R} _{>0}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — injektivně (zde — množina nezáporných čísel ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — není injektivní, protože . $f(-2)=f(2)=4$

Aplikace

Jedním z aplikovaných příkladů aplikace konceptu injekce je organizace vztahu jedna ku jedné mezi entitami v relačním datovém modelu .
Ideální hashovací funkce je injektivní.

Zobecnění

Zobecněním konceptu injekce v teorii kategorií je koncept monomorfismu . V mnoha kategoriích, i když ne ve všech, jsou tyto pojmy ekvivalentní.

Literatura

N. K. Vereščagin, A. Šen. Počátky teorie množin // Přednášky z matematické logiky a teorie algoritmů . (nedostupný odkaz)
Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matematická logika: učebnice. - 3., stereotyp. vyd. - Petrohrad. : Lan, 2004. - 336 s.