Funkce v matematice je korespondence mezi prvky dvou množin - pravidlo, podle kterého každý prvek první množiny, nazývaný definiční obor , odpovídá jednomu a pouze jednomu prvku druhé množiny, nazývanému rozsah hodnot .
Matematický koncept funkce vyjadřuje intuitivní představu o tom, jak jedna veličina zcela určuje hodnotu jiné veličiny. Hodnota proměnné tedy jednoznačně určuje hodnotu výrazu a hodnota měsíce jednoznačně určuje hodnotu měsíce následujícího po něm. „Každodenní“ příklad funkce: každého člověka lze jednoznačně přiřadit ke svému biologickému otci.
Podobně předem určený algoritmus , daný hodnotou vstupních dat, vytváří hodnotu výstupních dat.
Termín "funkce" často odkazuje na numerickou funkci , tedy funkci, která dává některá čísla do souladu s jinými. Tyto funkce jsou pohodlně znázorněny ve formě grafů .
Termín „funkce“ (v poněkud užším smyslu) poprvé použil Leibniz (1692). Johann Bernoulli zase v dopise Leibnizovi dal tomuto termínu význam bližší tomu modernímu [1] [2] .
Zpočátku byl koncept funkce k nerozeznání od konceptu analytické reprezentace. Následně se objevila definice funkce, kterou podal Euler (1751), poté Lacroix (1806), téměř v její moderní podobě. A konečně obecnou definici funkce (v její moderní podobě, ale pouze pro numerické funkce) podal Lobačevskij (1834) a Dirichlet (1837) [3] .
Koncem 19. století pojem funkce přerostl rozsah číselných systémů. Nejprve byl pojem funkce rozšířen na vektorové funkce , Frege brzy zavedl logické funkce ( 1879 ) a po nástupu teorie množin zformulovali Dedekind ( 1887 ) a Peano ( 1911 ) moderní univerzální definici [2] .
Funkce definovaná na množině s hodnotami v množině se nazývá „pravidlo“ tak, že každý prvek z odpovídá prvku ležícímu v a navíc pouze jednomu [4] .
Přijímaný zápis: , , zkrácený nebo jednoduše .
Graf se nazývá , kde je přímý součin .
Obecně lze říci, že pojmy funkce a jejího grafu jsou ekvivalentní, a protože druhý je definován matematicky přísněji, formální (z hlediska teorie množin) definicí funkce je její graf [4] .
Pro funkci :
Poznámky:
Funkce více argumentů:
Obecně řečeno, funkce může být definována na lineárním prostoru , v takovém případě se jedná o funkci několika argumentů.
Je- li množina kartézským součinem množin , pak se zobrazení (kde je množina reálných čísel) ukáže jako mapování -místo; v tomto případě se prvky uspořádané množiny nazývají argumenty (dané funkce -local), z nichž každý prochází svou vlastní množinou:
kde .V tomto případě zápis znamená, že .
Funkci lze definovat pomocí analytického výrazu (například vzorce). V tomto případě se označuje jako korespondence ve formě rovnosti.
Příklady:
Funkce zadaná jedním vzorcem:
Po částech definovaná funkce:
Implicitně definovaná funkce:
Funkci lze také specifikovat pomocí grafu. Nechť je reálná funkce proměnných. Pak je jeho grafem množina bodů v -rozměrném prostoru: . Tato sada bodů je často hyperplocha . Zejména, když graf funkce může být v některých případech reprezentován křivkou ve dvourozměrném prostoru.
Pro funkce se třemi nebo více argumenty není takové grafické znázornění použitelné. I pro takové funkce však lze přijít s vizuální semi-geometrickou reprezentací (například každá hodnota čtvrté souřadnice bodu může být spojena s určitou barvou na grafu, jak se to děje na grafech komplexních funkcí ).
Funkci na konečné množině lze definovat tabulkou hodnot – přímým uvedením jejích hodnot pro každý z prvků definiční domény. Tato metoda se používá například k definování booleovských funkcí . Ve skutečnosti je tato metoda také úkolem grafu funkce , pokud je graf funkce považován za množinu uspořádaných dvojic tvaru .
Nechť jsou dána dvě zobrazení tak, že množina hodnot prvního je podmnožinou domény druhého. Potom postupná akce prvního a druhého mapování na libovolný argument prvního mapování jednoznačně odpovídá prvku z rozsahu druhého mapování:
V takovém případě se nazývá kompozice zobrazení a označuje se výrazem , který zní " po ". Obecně je složení nekomutativní : nebo
Funkce se nazývá injektivní (nebo jednoduše injekce ), pokud jsou jakékoli dva různé prvky z množiny také spojeny s různými (nerovnými) prvky z množiny . Více formálně, funkce je injektivní jestliže from . Jinými slovy, je injektivní, pokud .
Funkce se nazývá surjektivní (nebo jednoduše surjekce ), pokud každý prvek množiny může být spojen s alespoň jedním prvkem množiny . To znamená, že funkce je surjektivní , pokud .
Takovému mapování se také říká mapování set - to- set . Pokud je podmínka surjektivity porušena, pak se takové mapování nazývá mapování set - to - set .
Funkce, která je surjektivní i injektivní, se nazývá bijektivní nebo jedna ku jedné ( krátce bijekce ).
Pokud je funkce bijekce , pak existuje pro kterou .
Funkce se v tomto případě nazývá inverzní funkce ; navíc je také bijektivní.
Vysvětlení:
Jelikož se jedná o injekci, obecně řečeno funkci, vyplývá z domněnky, že se podává na . Funkce je injektivní, protože je funkcí a její surjektivita vyplývá z její definice.
Obecně se o zobrazení, které má inverzní, říká, že je invertibilní . Vlastnost vratnosti spočívá v současném splnění dvou podmínek: a .
Nechť je dáno zobrazení a množina, která je striktní podmnožinou množiny
Mapování , které nabývá stejných hodnot jako funkce, se nazývá omezení (nebo jinak omezení ) funkce na množinu .
Omezení funkce na množinu se označuje jako .
V tomto případě se původní funkce naopak nazývá rozšířením funkce na množinu .
Prvek , který je k prvku namapován, se nazývá obrázek prvku (bodu) (při zobrazení ) nebo hodnota zobrazení v bodě .
Pokud vezmeme celou podmnožinu oblasti definice funkce , pak množinu obrázků všech prvků této množiny, tedy podmnožinu oblasti hodnot (funkce ) formuláře
,se nazývá obraz množiny pod mapováním . Tato sada je někdy označována jako nebo .
Obraz celého definičního oboru funkce se nazývá obrazem funkce nebo, je-li funkce surjekcí , se obecně nazývá rozsah funkce .
A naopak, vezmeme-li nějakou podmnožinu v rozsahu hodnot funkce , můžeme uvažovat množinu všech prvků oblasti nastavení funkce , jejichž obrázky spadají do množiny , tedy množiny formulář
,který se nazývá ( plný ) inverzní obraz množiny (při mapování ).
Zejména, když se množina skládá z jediného prvku – řekněme – pak má množina jednodušší zápis .
Dovolit a být podmnožiny oboru nastavení funkce . Potom mají obrázky množin a pod mapováním následující vlastnosti:
Poslední dvě vlastnosti lze zobecnit na libovolný počet množin.
Pokud je mapování invertibilní (viz výše ), pak je inverzní obraz každého bodu rozsahu jednobodový, takže pro invertibilní mapování platí následující silná vlastnost pro průniky:
Dovolit a být podmnožiny množiny . Pak mají inverzní obrazy množin a pod mapováním následující dvě zřejmé vlastnosti:
Tyto vlastnosti lze zobecnit na libovolný počet množin.
Nechť je dána funkce Potom
Nerostoucí a neklesající funkce se nazývají ( nepřísně ) monotónní , zatímco rostoucí a klesající funkce se nazývají přísně monotónní . Pro libovolnou funkci lze najít intervaly monotónnosti - podmnožiny definičního oboru, na kterých je funkce tak či onak (přísnost se volí ve většině případů dohodou), jsou monotónní.
Funkce se nazývá periodická s tečkou , pokud je rovnost
.Protože funkce, která je periodická s periodou, je také periodická s periodami tvaru , pak obecně řečeno nejmenší perioda funkce.
Pokud tato rovnost není splněna pro žádnou , pak se funkce nazývá aperiodická .
Nechť je dána funkce a bod je vnitřním bodem oblasti úkolu Then
Podle charakteru referenční oblasti a oblasti hodnot se rozlišují tyto případy oblastí:
V případě 1 se zobrazení uvažují v nejobecnější podobě a řeší se nejobecnější otázky - například o porovnávání množin z hlediska mohutnosti : pokud existuje zobrazení jedna ku jedné (bijekce) mezi dvěma množinami, pak tyto množiny se nazývají ekvivalentní nebo ekvivalentní . To nám umožňuje klasifikovat množiny podle jejich mohutností a nejmenší z nich, podle rostoucího pořadí, jsou následující:
Tak jsou získány následující typy zobrazení - podle síly definiční domény:
V případě 2 je hlavním předmětem úvahy struktura daná na množině (kde prvky množiny mají nějaké další vlastnosti, které tyto prvky spojují, například ve skupinách , prstencích , lineárních prostorech ) a co se s tím stane struktura během mapování: pokud jsou při zobrazení jedna ku jedné zachovány vlastnosti dané struktury, pak říkáme, že mezi těmito dvěma strukturami je vytvořen izomorfismus . Izomorfní struktury dané v různých množinách tedy obecně nelze rozlišit, proto je v matematice zvykem říkat, že daná struktura je považována za "až do izomorfismu ".
Existuje široká škála struktur, které lze definovat na množinách. To zahrnuje:
Funkce s určitou vlastností nemusí existovat na množinách, které nemají odpovídající strukturu. Například, aby bylo možné formulovat takovou vlastnost, jako je spojitost funkce definované na množině, musíme definovat topologickou strukturu na této množině .
Částečně definovaná funkce z množiny na množinu je funkce s oblastí úkolů .
Někteří autoři mohou pod funkcí samotnou mínit pouze její zúžení tak, že funkce je zcela definována na „zúžené“ doméně definice. To má své výhody: například je možné napsat , kde - v tomto případě to znamená .
Daná hodnota argumentu se musí shodovat právě s jednou hodnotou funkce kvůli samotné definici funkce. Ale i přes to se lze často setkat s takzvanými vícehodnotovými funkcemi . Ve skutečnosti to není nic jiného než pohodlný zápis funkce, jejíž rozsah je sám o sobě rodinou množin.
Nechť , kde je rodina podmnožin množiny . Pak bude sada pro každou .
Funkce je jednohodnotová , pokud každá hodnota argumentu odpovídá jedné hodnotě funkce. Funkce je vícehodnotová , pokud alespoň jedna hodnota argumentu odpovídá dvěma nebo více hodnotám funkce [5] .
![]() |
| |||
---|---|---|---|---|
|