Rozsah funkcí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Definiční obor je množina , na které je funkce definována . V každém bodě této množiny musí být určena hodnota funkce.

Definice

Pokud je funkce definována na množině, která mapuje množinu na jinou množinu, pak se množina nazývá definiční obor nebo definiční obor funkce. $X$ $X$ $X$

Formálněji, pokud je dána funkce, která mapuje množinu na , tedy: , pak se množina nazývá definiční obor [1] nebo obor nastavení [2] funkce a označuje se nebo (z anglického domain - "plocha"). $F$ $X$ $Y$ $f\dvojtečka X\to Y$ $X$ $F$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$

Někdy se berou v úvahu také funkce definované na podmnožině nějaké množiny . V tomto případě se množina nazývá oblast odchodu funkce [3] . $D$ $X$ $X$ $F$

Příklady

Nejnázornější příklady domén poskytují numerické funkce . Míra a funkcional také poskytují důležité typy domén v aplikacích.

Číselné funkce

Číselné funkce jsou funkce patřící do následujících dvou tříd:

funkce reálné hodnoty reálné proměnné jsou funkcemi tvaru ; $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$
stejně jako komplexních funkcí komplexní proměnné tvaru , $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$

kde a jsou množiny reálných a komplexních čísel, resp. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Mapování identity

Rozsah funkce je stejný jako oblast původu ( nebo ). $f(x)=x$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Harmonická funkce

Definičním oborem funkce je komplexní rovina bez nuly: $f(x)=1/x$

{\mathrm {dom}}\,f={\mathbb {C}}\setminus \{0\}

protože vzorec nenastaví hodnotu funkce na nulu na nějaké číslo.

Frakčně-racionální funkce

Rozsah funkce zobrazení

f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\tečky +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\tečky +b_{n} x^{n}}}

je skutečná přímka nebo komplexní rovina s výjimkou konečného počtu bodů, které jsou řešením rovnice

b_{0}+b_{1}x+\tečky +b_{n}x^{n}=0

Tyto body se nazývají póly funkce . $F$

Funkce je tedy definována ve všech bodech, kde jmenovatel nezaniká, tedy kde . Tedy množina všech reálných (nebo komplexních) čísel kromě 2 a -2. $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4))$ $x^{2}-4\neq 0$ $\mathrm {dom} \,f$

Změřte

Pokud je každý bod definičního oboru funkce množinou, například podmnožinou dané množiny, pak říkají, že množinová funkce je dána .

Míra je příkladem takové funkce, kdy určitá množina podmnožin dané množiny, což je např. prstenec nebo polořadovka množin, vystupuje jako definiční obor funkce (míry).

Například určitý integrál je funkcí orientovaného rozpětí .

Funkčnost

Nechť je rodina mapování od množiny k množině . Poté můžeme definovat mapování formuláře . Takovému mapování se říká funkční . ${\mathbb {F}}=\{f\střed f\dvojtečka X\to {\mathbb {R}}\}$ $X$ $\mathbb {R}$ $F\colon {\mathbb {F}}\to {\mathbb {R}}$

Pokud například zafixujeme nějaký bod , pak můžeme definovat funkci , která má v „bodu“ stejnou hodnotu jako samotná funkce v bodě . $x_{0}\in ~X$ $F(f)=f(x_{0})$ $F$ $F$ $x_{0}$

Viz také

Funkční rozsah

Poznámky

↑ V. A. Sadovničij . Teorie operátora. - M. : Drofa, 2001. - S. 10. - 381 s. — ISBN 5-71-074297-X .
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105-121. — 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ V. A. Zorich . Kapitola I. Některé obecné matematické pojmy a zápisy. § 3. Funkce // Matematická analýza. Část I. - čtvrtá, opraveno. - M. : MTSNMO, 2002. - S. 12-14. — 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Literatura

Funkce, Matematický encyklopedický slovník . - Ch. vyd. Yu V. Prochorov. - M.: "Velká ruská encyklopedie", 1995.
Klein F. Obecný pojem funkce . In: Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu. T.1. M.-L., 1933
I. A. Lavrov aL. L. Maksimova Část I. Teorie množin// Problémy v teorii množin, matematické logice a teorii algoritmů. -3. vyd. . -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13 - 21. - 256 s. —ISBN 5-02-014844-X.
A. N. Kolmogorov aS. V. Fomin Kapitola 1. Základy teorie množin// Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. -3. vyd. . -M.: Nauka, 1972. - S. 14 - 18. - 256 s.
J. L. Kelly . Kapitola 0. Přípravy// Obecná topologie. -2. vyd. . -M.: Nauka, 1981. - S. 19 - 27. - 423 s.
V. A. Zorich . Kapitola I. Některé obecné matematické pojmy a zápisy. § 3. Funkce// Matematická analýza, část I. -M.: Nauka, 1981. - S. 23 - 36. - 544 s.
G. E. Shilov . Kapitola 2. Prvky teorie množin. § 2.8. Obecný pojem funkce. Graf// Matematická analýza (funkce jedné proměnné). -M.: Nauka, 1969. - S. 65 - 69. - 528 s.
A. N. Kolmogorov . Co je funkce // "Quantum" : science-pop. Fyzikální matematika časopis - M. : "Nauka" , 1970. - č. 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .