Komplexní funkce

Komplexní funkce je hlavním předmětem studia teorie funkcí komplexní proměnné , komplexně oceňovaná funkce komplexního argumentu: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Stejně jako funkce s komplexní hodnotou reálné proměnné může být reprezentována jako:

f(z)=u(z)+iv(z)

kde a jsou funkce s reálnou hodnotou komplexního argumentu, nazývané příslušně skutečná a imaginární část funkce . Na rozdíl od reálných funkcí je mezi expanzními složkami hlubší spojení, například aby byla funkce diferencovatelná ve smyslu funkce komplexní proměnné, musí být splněny Cauchy-Riemannovy podmínky : $u(z)$ $v(z)$ $f(z)$ $f(z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\částečné u}{\částečné y))=-{\frac {\částečné v}{\částečné x))

Příklady analytických funkcí komplexní proměnné jsou: mocninná funkce , exponenciální , gama funkce , Riemannova zeta funkce , spinální funkce a mnoho dalších, stejně jako jejich inverzní funkce a jakákoli jejich kombinace. Skutečná část komplexního čísla , imaginární část , komplexní konjugace , modul a argument však nejsou analytickými funkcemi komplexní proměnné, protože nesplňují Cauchy-Riemannovy podmínky. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. - M. : Nauka, 1974. - 320 s.