Specifickou kategorií v matematice je kategorie vybavená přísným funktorem do kategorie množin . Díky tomuto funktoru můžete s objekty této kategorie pracovat podobně jako s množinami s přídavnou strukturou a reprezentovat morfismy jako funkce zachovávající přídavnou strukturu. Mnoho kategorií má zřejmý výklad konkrétních kategorií, jako je kategorie grup, kategorie topologických prostorů a vlastní kategorie množin. Na druhé straně existují blíže nespecifikované kategorie; např. homotopická kategorie topologických prostorů je neinkrementální, to znamená, že do kategorie množin nepřipouští striktní funktor.
Konkrétní kategorie je dvojice ( C , U ) taková, že:
Funktor U je zapomnětlivý funktor , který asociuje objekt kategorie s jeho "množinou nosičů".
Kategorie C je konkretizovatelná , pokud z ní existuje striktní funktor do kategorie množin. Zejména všechny malé kategorie jsou instanciovatelné: funktor U lze definovat jako funktor vysílající objekt b kategorie C do množiny všech šipek f : a → b (pro všechny možné objekty a ), a morfismus g : b → c kategorie C na morfismus U ( g ): U ( b ) → U ( c ), který mapuje šipku f : a → b na složení gf : a → c .
Na rozdíl od intuice není "konkrétnost" vlastností, kterou kategorie může nebo nemusí mít, ale doplňkovou strukturou, kterou může být vybavena, a kategorie může také připouštět více striktních funktorů v Set . V praxi je však tento funktor obvykle zřejmý.
Požadavek, aby byl U přísný , znamená, že mapuje různé morfismy s pevným obrazem a předobrazem na různé funkce na množinách. Dokáže však „slepit“ objekty různých kategorií, a pokud ano, zmapuje různé morfismy do jediné funkce.
Pokud jsou například S a T dvě různé topologie na stejné množině X , pak ( X , S ) a ( X , T ) jsou různé objekty kategorie Vrchol topologických prostorů a spojitá zobrazení, ale jsou mapovány na stejné množina X pod akčním zapomnětlivým funktorem Nahoru → Sada . Navíc identitní morfismy ( X , S ) → ( X , S ) a ( X , T ) → ( X , T ) jsou v Top chápány jako různé morfismy , ale odpovídají stejné funkci, a to funkci identity na X .
Kategorie se nazývá neinkrementální, pokud z ní neexistuje žádný striktně funktor do kategorie množin.
Například kategorie hTop , jejíž objekty jsou topologické prostory a jejíž morfismy jsou třídy homotopických funkcí, není instanciovatelná. Přestože objekty této kategorie mohou být reprezentovány jako množiny, morfismy v ní nejsou funkcemi, ale spíše třídami funkcí. Absenci striktního funktoru hTop v Setu prokázal v roce 1970 Peter Freud . Dříve se ukázalo, že kategorie všech malých kategorií a přirozených přeměn je nekonkrétní.