Nastavit kategorii

Kategorie množin  je kategorie, jejíž objekty jsou množiny a morfismy mezi množinami A a B  jsou všechny funkce od A do B . Označeno Set . V Zermelo-Fraenkelově axiomatice „množina všech množin“ neexistuje a není příliš vhodné pracovat s konceptem třídy ; pro tento problém bylo navrženo několik různých řešení. [1] [2] [3]

Vlastnosti kategorie množin

• Všechny epimorfismy v množině jsou surjektivní , všechny monomorfismy  jsou injektivní a všechny izomorfismy  jsou bijekce .
• Prázdná množina  je počátečním objektem kategorie množin, libovolný singleton  je koncovým objektem .
• Kategorie Set  je kompletní a spolukompletní kategorie. Obsahuje například součiny ( kartézské součiny množin ) a součiny ( disjunktní sjednocení množin ).
• Set  je prototypem konceptu konkrétní kategorie , kategorie je specifická, pokud je "podobná" Set nějakým přesně definovaným způsobem.
• Libovolná dvouprvková podmnožina určuje klasifikátor podobjektu v Set , mocninný objekt množiny A je její booleovský a exponenciála množin A a B  je množina funkcí od A do B . Set je tedy topos , konkrétně kartézská uzavřená kategorie.
• Sada není abelovská , aditivní nebo předaditivní . Jeho nulové morfismy  jsou prázdné funkce ∅ → X [4] .
• Každý neiniciální objekt Set je injektivní a (za předpokladu, že axiom výběru je pravdivý ) projektivní .

Poznámky

1. ↑ Mac Lane, 1969 .
2. ↑ Feferman, 1969 .
3. ↑ Blass, 1984 .
4. ↑ Pareigis, 1970 , oddíl I.7.

Literatura

• McLane S. Kapitola 1. Kategorie, funktory a přirozené transformace // Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Blass, A. Interakce mezi teorií kategorií a teorií množin  // Současná matematika. - 1984. - č. 30 .
• Feferman, S. Množinové základy teorie kategorií . - Springer, 1969. - Sv. 106. - S. 201-247. — (Poznámky z matematiky).
• Lawvere, F.W. Elementární teorie kategorie množin (dlouhá verze) s komentářem  // Reprints in Theory and Applications of Categories. - 2005. - č. 11 . - S. 1-35 .
• Mac Lane, S. Základy pro kategorie a soubory . - Springer, 1969. - Sv. 92. - S. 146-164. — (Poznámky z matematiky).
• Mac Lane, S. Jeden vesmír jako základ pro teorii kategorií . - Springer, 1969. - Sv. 106. - S. 192-200. — (Poznámky z matematiky).
• Pareigis, Bodo. Kategorie a funktory . - Academic Press, 1970. - (Čistá a aplikovaná matematika). — ISBN 978-0-12-545150-5 .