Exponenciální

Exponenciála je kategorie-teoretická analogie souboru funkcí v teorii množin . Kategorie, ve kterých existují konečné limity a exponenciály, se nazývají karteziánské uzavřené .

Definice

Nechť jsou v kategorii binární produkty . Pak lze exponenciálu definovat jako univerzální morfismus od funktoru do . (Funktor od do mapuje objekt na a morfismy na ). $C$ $Z^{Y}$ $[-]\times Y$ $Z$ $[-]\times Y$ $C$ $C$ $X$ $X \krát Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Přesněji řečeno, exponenciála objektů a je takový objekt, spolu s morfismem zvaným hodnotící mapa , že pro jakýkoli objekt a morfismus existuje jedinečný morfismus , pro který je následující diagram komutativní: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\dvojtečka Z^{Y}\krát Y\to Z$ $X$ $g\dvojtečka X\krát Y\to Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$

Jestliže exponenciála existuje pro all in , pak funktor odesílání do je správný duál of . V tomto případě existuje přirozená bijekce: $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ $[-]\times Y$

\mathrm {Hom} (X\krát Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Příklady

V kategorii množin je exponenciála množina všech funkcí od do ( kardinální mocnina ). Pro jakékoli mapování je mapování ve formě curried : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\dvojtečka (X\krát Y)\šipka doprava Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $G$

\lambda g(x)(y)=g(x,y)

V kategorii topologických prostorů existuje exponenciála , pokud je místně kompaktní Hausdorffův prostor . V tomto případě je množina spojitých funkcí od do s kompaktní-otevřenou topologií . Pokud nejde o lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, exponenciála nemusí existovat (prostor bude existovat, ale mapování již nemusí být spojité). Z tohoto důvodu není kategorie topologických prostorů kartézsky uzavřená . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Literatura

Goldblatt R. Topoi. Kategorická analýza logiky = Topoi. Kategoriální analýza logiky / Per. z angličtiny. V. N. Grishin a V. V. Shokurov, ed. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Abstraktní a konkrétní kategorie (The Joy of Cats ) . — John Wiley & Sons , 2006.