Prsten (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Prsten (také asociativní prsten ) v obecné algebře je algebraická struktura , ve které jsou definovány operace vratného sčítání a operace násobení , podobné svými vlastnostmi odpovídajícím operacím na číslech . Nejjednoduššími příklady kruhů jsou kolekce čísel ( celé číslo , reálná , komplexní ), kolekce numerických funkcí definovaných na dané množině. Ve všech případech existuje množina podobná kolekcím čísel v tom smyslu, že její prvky lze sčítat a násobit a tyto operace se chovají přirozeně [1] .

Pro studium obecných vlastností operací násobení a sčítání, jejich vnitřního propojení mezi sebou, bez ohledu na povahu prvků, na kterých se operace provádějí, byl zaveden pojem prstenec [2] .

Prsteny jsou hlavním předmětem studia teorie prstenů - hlavní sekce obecné algebry, ve které byly vyvinuty nástroje, které našly široké uplatnění v algebraické geometrii , algebraické teorii čísel , algebraické teorii $K$ a invariantní teorii .

Historie

Rychlý rozvoj algebry jako vědy začal v 19. století. Jedním z hlavních úkolů teorie čísel v 60. a 70. letech 19. století byla konstrukce teorie dělitelnosti v obecných polích algebraických čísel . Řešení tohoto problému publikoval Richard Dedekind („X Dodatek k přednáškám o teorii Dirichletových čísel“, 1871). V této práci byl nejprve uvažován koncept kruhu celých čísel číselného pole, v této souvislosti byly definovány pojmy modul a ideál [3] .

Definice

Kruh je množina , na které jsou dány dvě binární operace : a (nazývané sčítání a násobení ), s následujícími vlastnostmi, které platí pro libovolné : $R$ $+$ $\krát$ $a, b, c \v R$

$a + b = b + a$ — komutativnost sčítání;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - asociativita sčítání;
$\existuje 0 \v R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\vpravo)$ - existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání;
$\forall a\v R\;\existuje b\v R\left(a+b=b+a=0\vpravo)$ - existence opačného prvku s ohledem na sčítání;
$(a \krát b) \krát c=a \krát (b \krát c)$ — asociativita násobení;
$\left\{{\begin{matrix}a\krát (b+c)=(a\krát b)+(a\krát c)\\(b+c)\krát a=(b\krát a)+(c\krát a)\konec{matice}}\vpravo.$ - distributivita .

Jinými slovy, prsten je univerzální algebra , která je abelovská grupa s ohledem na sčítání , pologrupa s ohledem na násobení a je oboustranná distributivní s ohledem na . $\left(R,+,\times\right)$ $+$ $\krát$ $\krát$ $+$

Prsteny mohou mít následující další vlastnosti:

přítomnost jednotky : ( kruh s jednotkou ), obvykle se jednotka označuje 1; $\existuje e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
komutativnost násobení: ( komutativní kroužek ); $\forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

Někdy je kruh chápán pouze jako kruh s jednotkou [4] (to znamená, že se vyžaduje, aby byl monoid ), ale studují se i kruhy bez jednotky (např. kruh sudých čísel je komutativní asociativní kruh bez jednotky [5] ). $\left(R,\times\right)$

Místo symbolu se často používá symbol (nebo je zcela vynechán). $\krát$ $\cdot$

Nejjednodušší vlastnosti

Následující vlastnosti lze odvodit přímo z kruhových axiomů:

s ohledem na přidání do kruhu je neutrální prvek jedinečný;
pro jakýkoli prvek prstenu je prvek inverzní k němu navíc jedinečný;
neutrální prvek pod násobením, pokud existuje, je jedinečný;
$a\cdot 0 = 0,$ to znamená, že 0 je absorbující prvek násobením;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ kde je prvek inverzní k navíc; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Základní pojmy

Typy prstencových prvků

Nechť má prstenec jiné prvky než nulu (kruh není triviální ). Pak je levý nulový dělitel nenulovým prvkem kruhu , pro který existuje nenulový prvek kruhu , takže pravý nulový dělitel je definován podobně. V komutativních kruzích se tyto pojmy shodují. Příklad: uvažujme okruh spojitých funkcí na intervalu Předpokládejme tedy , že jsou nulové dělitele. Zde podmínka znamená, že jde o jinou funkci než nulu, ale neznamená, že nikde nenabývá hodnoty [7] $A$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-jedenáct).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $F$ $F$ $0.$

Nilpotentní prvek je takový prvek , že pro nějaký Příklad: matice Nilpotentní prvek je vždy nulový dělitel (pokud se kruh neskládá z jedné nuly), v obecném případě to naopak neplatí [8] . $A,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\začátek{malá matice} 0 & 1\\0 & 0 \end{malá matice}\bigr).$

Idempotentní prvek je takový prvek, že například jakýkoli projekční operátor je idempotentní , zejména následující: v maticovém prstenci [9] $E$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2\krát 2.$

Jestliže je libovolný prvek kruhu s identitou, pak levý inverzní prvek k je takový, že pravý inverzní prvek je definován podobně. Pokud má prvek levý i pravý inverzní prvek, pak se tyto shodují a říkají, že má inverzní prvek, který je jednoznačně definován a označen . Samotný prvek se nazývá invertibilní prvek. [7] $A$ $R,$ $A$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $A$ $A$ $a^{-1}.$

Subring

Podmnožina se nazývá podkruh , pokud je sama kruhem s ohledem na operace definované v V tomto případě se říká, že je rozšířením kruhu [10] Jinými slovy, neprázdná podmnožina je podkruhem, pokud $A\podmnožina R$ $R,$ $A$ $R.$ $R$ $A.$ $A\podmnožina R$

$A$ je aditivní podskupina kruhu , to znamená pro jakýkoli $R,$ $x, y \in A : x+y, -x \v A,$
$A$ je uzavřeno pod násobením, tedy pro libovolné $x, y \in A : xy \in A.$

Podle definice není podkruh prázdný , protože obsahuje prvek null . Nula a jedna z kruhu jsou nula a jeden z kteréhokoli z jeho podkruhů [11] .

Podkruh zdědí vlastnost komutativity [12] .

Průsečík libovolné sady podkruhů je podkruh. Nejmenší podkruh obsahující podmnožinu se nazývá podkruh generovaný systémem - generujícím kruh . Takový podkruh vždy existuje, protože průnik všech podkruhů obsahujících tuto definici splňuje. [jedenáct] $E\podmnožina R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

Podkruh kruhu s identitou generovanou jeho identitou se nazývá nejmenší nebo hlavní podkruh kruhu . Takový podkruh je obsažen v jakémkoli podkruhu kruhu [13] $R,$ $R.$ $R.$

Ideály

Definice a role ideálu kruhu je podobná definici normální podgrupy v teorii grup [14] .

Neprázdná podmnožina kruhu se nazývá levý ideál, pokud: $já$ $R$

$já$ je aditivní podskupina kruhu, to znamená součet libovolných dvou prvků z patří do a $já$ $já$ $a\v I\Šipka doprava -a\v I.$

$já$ je uzavřen pod násobením nalevo libovolným prvkem kruhu, to znamená, že jakýkoli je pravdivý . $v já,$ $r\in R$ $ra\in I$

První vlastnost také znamená, že je uzavřena pod násobením uvnitř sebe, takže je to podkruh. $já$ $já$

Pravý ideál, který je při násobení uzavřen prvkem prstence napravo, je definován podobně.

Dvoustranný ideál (nebo jen ideál) prstenu je jakákoli neprázdná podmnožina, která je jak levým, tak pravým ideálem. $R$

Ideál prstenu lze také definovat jako jádro nějakého homomorfismu [15] . $R$ $f:R\to R'$

Jestliže je prvek kruhu , pak množina prvků tvaru (respektive ) se nazývá levý (respektive pravý) hlavní ideál generovaný . Pokud je kruh komutativní, tyto definice se shodují a generovaný hlavní ideál se označí . Například množina všech sudých čísel tvoří ideál v kruhu celých čísel, tento ideál je generován prvkem 2. Lze dokázat, že všechny ideály v kruhu celých čísel jsou hlavní [16] . $X$ $R$ $Rx$ $xR$ $X$ $R$ $X,$ $(X).$

Ideál kruhu, který se neshoduje s celým kruhem, se nazývá jednoduchý , jestliže podílový kruh tímto ideálem nemá žádné nulové dělitele. Ideál prstence, který se neshoduje s celým prstencem a není obsažen v žádném větším ideálu, který se prstenci nerovná, se nazývá maximální [17] .

Homomorfismus

Kruhový homomorfismus (kruhový homomorfismus) je zobrazení, které zachovává operace sčítání a násobení. Jmenovitě, homomorfismus prsten -k-kruh je funkce taková, že $R$ $S$ $f:R\to S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

V případě prstenů s identitou jsou někdy vyžadovány také podmínky [18] [19] . $f(1) = 1$

Kruhový homomorfismus se nazývá izomorfismus, pokud existuje inverzní kruhový homomorfismus. Jakýkoli bijektivní kruhový homomorfismus je izomorfismus. Automorfismus je homomorfismus z kruhu do sebe, což je izomorfismus. Příklad: mapování identity kruhu na sebe je automorfismus [20] .

Pokud je kruhový homomorfismus, množina mizejících prvků se nazývá jádro (označeno ). Jádrem každého homomorfismu je oboustranný ideál [21] . Na druhou stranu, obraz není vždy ideál, ale je podkruhem [15] (označený ). $f:R\to S$ $R,$ $F$ $\mathrm{ker} f$ $F$ $S$ $\mathrm{im}f$

Faktorový kroužek

Definice podílového kruhu ideálem je podobná definici podílové skupiny . Přesněji řečeno, kvocientový kruh kruhu oboustranným ideálem je množina koset aditivní skupiny aditivní podgrupou s následujícími operacemi: $R$ $já$ $R$ $já$

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ,
$(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

Podobně jako v případě grup existuje kanonický homomorfismus daný vztahem . Jádro je ideál . $p: R \to R/I$ $x \mapsto x + I$ $já$

Podobně jako u věty o grupovém homomorfismu existuje věta o kruhovém homomorfismu: pak nechť je izomorfní s kvocientovým kruhem s ohledem na jádro homomorfismu [22] . $f:R\to R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Některé speciální třídy prstenů

Prstenec s jednotkou , ve kterém je každý nenulový prvek invertibilní, se nazývá kruh [23] . $1\neq 0$
Komutativní těleso se nazývá pole [24] ; jinými slovy, pole je komutativní kruh s identitou, který nemá netriviální ideály [8] [25] .
Komutativní kruh bez nulových dělitelů se nazývá doména integrity (neboli integrální kruh) [26] . Jakékoli pole je oblast integrity, ale obráceně to neplatí [27] .
Integrální prstenec , který není polem, se nazývá euklidovský , pokud je na prstenci dána norma taková, že: $R$ ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+))$
1. pro jakékoli nenulové platí, že ; $a, b \v R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. pro libovolnou nenulovou existuje taková, že a nebo
[26] . $a, b \v R$ $q,r \in R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N(r) < N(b)$
Integrální prsten ve kterém každý ideál je hlavní se nazývá prsten hlavních ideálů ; každý euklidovský prsten a každé pole jsou hlavní ideální prstence [12] .
Prsten, jehož prvky jsou čísla a jehož operacemi jsou sčítání a násobení čísel, se nazývá číselný kruh , například množina sudých čísel je číselný kruh, ale žádný systém záporných čísel nebude kruh, protože jejich součin je kladný. [28] .

Příklady

$\{0\}$ je triviální prsten skládající se z jedné nuly. Toto je jediný kruh, ve kterém je nula multiplikativní [5] . Je užitečné považovat tento triviální příklad za prsten z hlediska teorie kategorií , protože v tomto případě v kategoriích prstenů vzniká terminální objekt .
$\mathbb {Z}$ - celá čísla (s obvyklým sčítáním a násobením). Toto je nejdůležitější příklad prstenu, protože jakýkoli prsten lze považovat za algebru nad . Je také výchozím objektem v kategorii prstenců jednotkových prstenů. [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ je konečný zbytek kruhu modulo přirozené číslo n . Toto jsou klasické příklady prstenů z teorie čísel. Zbytkový kruh je pole právě tehdy, když n je prvočíslo . [31] Odpovídající pole jsou výchozím bodem pro konstrukci teorie konečných polí . Zbytkové kruhy jsou také důležité při studiu struktury finitely generovaných abelovských skupin a mohou být také použity ke konstrukci p -adických čísel .
$\mathbb {Q}$ je kruh racionálních čísel , což je pole. Toto je nejjednodušší pole charakteristiky 0. Je hlavním předmětem studia v teorii čísel. Jeho doplněním podle různých neekvivalentních norem dostaneme tělesa reálných čísel a p -adických čísel , kde p je libovolné prvočíslo [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
Pro libovolný komutativní kruh lze sestrojit polynomický kruh v n proměnných s koeficienty v [11] Zejména polynomický kruh s celočíselnými koeficienty je univerzální polynomický kruh v tom smyslu, že všechny polynomiální kruhy jsou vyjádřeny v termínech tenzoru . produkt : $R$ $R[x_1,x_2,\tečky,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\tečky,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\tečky,x_n]\vpravo).$
Kruh podmnožin množiny je kruh, jehož prvky jsou podmnožiny v . Operace sčítání je symetrický rozdíl a násobení je průnik množin : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Kruhové axiomy lze snadno ověřit. Nulový prvek je prázdná množina, jednotka je všechno. Všechny prvky kruhu jsou idempotentní, to znamená, že každý prvek je jeho inverzní navíc: Okruh podmnožin je důležitý v teorii Booleových algeber a teorii míry , zejména při konstrukci teorie pravděpodobnosti [5] .

X.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Konstrukce

Přímý produkt

Výrobek prstenů a může být vybaven přirozenou prstencovou strukturou: pro jakékoli , : $R\krát S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\v R$ $s_{1},s_{2}\in S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Podobná konstrukce existuje pro součin libovolné rodiny kruhů (sčítání a násobení jsou dány komponentově) [33] .

Dovolit být komutativní kruh a být v něm párové coprime ideály (ideály se nazývají coprime, pokud se jejich součet rovná celému kruhu). Čínská věta o zbytku říká, že mapování: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

je surjektivní a jeho jádro je ( součin ideálů , průnik ideálů ) [18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Prstenec endomorfismů

Soubor endomorfismů abelovské skupiny tvoří kruh, označovaný . Součet dvou endomorfismů je definován komponentově: a součin je definován jako složení: . Jestliže je neabelovská skupina, pak , obecně řečeno, není rovno , zatímco sčítání v kruhu musí být komutativní [34] . $(A,+)$ $\operatorname {Konec} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ $(A,+)$ $f+g$ $g+f$

Pole privátů a kruh privátů

Pro integrální kruh existuje konstrukce, která umožňuje sestrojit nejmenší pole , které jej obsahuje. Pole parciálních okruhů je množina tříd ekvivalence formálních zlomků podle následujícího vztahu ekvivalence : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\in R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

tehdy a jen tehdy

{p_1q_2}={p_2q_1},

při běžném provozu: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Není zcela zřejmé, že daný vztah je skutečně vztahem ekvivalence: pro důkaz je třeba použít integritu prstence. Existuje zobecnění této konstrukce na libovolné komutativní kruhy. Totiž multiplikativně uzavřený systém v komutativním kruhu (tedy podmnožina obsahující jedničku a neobsahující nulu; patří do ní opět součin dvou libovolných prvků z podmnožiny). Pak kruh kvocientů je množina tříd ekvivalence formálních zlomků s ohledem na vztah ekvivalence: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\in R, s\in S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

pokud a jen tehdy existuje taková, že

s'\in S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Tato konstrukce se také nazývá lokalizace prstence (protože v algebraické geometrii umožňuje studovat místní vlastnosti variety v jejím jednotlivém bodě). Příklad: kruh desetinných míst - lokalizace kruhu celých čísel podle multiplikativního systému $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Existuje přirozené mapování Jeho jádro se skládá z takových prvků, pro které existuje takové, že . Konkrétně pro integrální prsten je tato mapa injektivní [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $v S$ $rs=0$

Popis kategorie

Kruhy spolu s kruhovými homomorfismy tvoří kategorii , obvykle označovanou (někdy se takto označuje kategorie kruhů s jednotkou a kategorie obyčejných kruhů ). Kategorie jednotkových kroužků má mnoho užitečných vlastností: zejména je kompletní a spolukompletní . To znamená, že v něm existují všechny malé limity a colimity (například produkty , koprodukty , jádra a kokernely ). Kategorie kroužků s jednotkou má počáteční objekt (ring ) a koncový objekt (nulový kruh). $\mathbf {Ring}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

Lze dát následující kategorickou definici kruhu: asociativní kruh s jednotkou je monoid v kategorii abelovských grup (abelovské grupy tvoří monoidní kategorii s ohledem na operaci součinu tenzoru ). Působení kruhu R na Abelovu skupinu (kruh zpracovaný jako monoid násobením) změní Abelovu skupinu na R - modul . Koncept modulu zobecňuje koncept vektorového prostoru : zhruba řečeno, modul je „vektorový prostor nad prstencem“. [29] [30]

Speciální třídy prstenů

Zobecnění - neasociativní kruh , semiring , blízký kruh .

Struktury nad prstenci

Poznámky

↑ Vinberg, 2011 , str. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovský L. Rings // Kvant . - 1974. - č. 2 .
↑ Erich Reck. Dedekindovy příspěvky k základům matematiky // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Archivováno z originálu 2. prosince 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , str. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , str. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , str. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , str. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , str. jedenáct.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 359.
↑ Vinberg, 2011 , str. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , str. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , str. 21.
↑ Kulikov, 1979 , str. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , str. 153.
↑ Kulikov, 1979 , str. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , str. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , str. deset.
↑ Vinberg, 2011 , str. 388.
↑ Kulikov, 1979 , str. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , str. 432.
↑ Vinberg, 2011 , str. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , str. 523.
↑ Tvář, 1977 , str. 152.
↑ Kulikov, 1979 , str. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , str. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , str. 266.
↑ 1 2 Face, 1977 .
↑ 1 2 Face, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , str. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , str. 305-311.

Literatura

M. Atiyah , I. MacDonald. Úvod do komutativní algebry. - M .: Mir, 1972. - 160 s.
Belsky A., Sadovský L. Rings. // Quantum č. 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Mir, 1975. - 623 s.
Kurz algebry Vinberg E. B. - Nové vydání, přepracované. a další .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 s.
Glazer G. I. Dějiny matematiky ve škole: IX-X ročník. Průvodce pro učitele – nové vydání, přepracované. a další .. - M . : Vzdělávání, 1983. - 351 s.
Matematika 19. století. Matematická logika. Algebra. Teorie čísel. Teorie pravděpodobnosti / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (eds.). — M .: Nauka, 1978. — 255 s.
Kulikov L. Ya Algebra a teorie čísel: Proc. manuál pro pedagogické ústavy. - M .: Vyšší. škola, 1979. - 559 s.
Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry .. - M . : Nauka, 1968. - 431 s.
Tvář K. Algebra. Kroužky, moduly, kategorie. - M .: Mir, 1977. - T. 1. - 688 s.
Tvář K. Algebra. Kroužky, moduly, kategorie. - M .: Mir, 1979. - T. 2. - 464 s.
Herstein I. Nekomutativní kruhy. - M .: Mir, 1972. - 190 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754