K-teorie

K-teorie je matematická teorie, která studuje prstence generované vektorovými svazky nad topologickými prostory nebo schématy . V algebraické topologii se tato zobecněná cohomologická teorie nazývá topologická K-teorie . V algebře a algebraické geometrii se odpovídající větev nazývá algebraická K-teorie. Hraje také důležitou roli v operátorových algebrách a lze ji považovat za teorii určitých typů invariantů velkých matic [1] .

K-teorie zahrnuje konstrukci rodin K- funktorů , které mapují topologické prostory nebo schémata na odpovídající kruhy; tyto prstence odrážejí některé aspekty struktury původních prostorů nebo schémat. Stejně jako u funktorů v kategorii grup používaných v algebraické topologii toto funktorální zobrazení usnadňuje výpočet některých topologických vlastností z mapovaných okruhů než z původních prostorů nebo schémat. Příklady výsledků odvozených z přístupu K-teorie zahrnují Grothendieck–Riemann–Rochův teorém, Bottova periodicita, Atiyah–Singerův indexový teorém a Adamsovy operace.

Ve fyzice vysokých energií se K-teorie, a zejména K-teorie s torzí, používá v teorii strun typu II, kde bylo navrženo, že klasifikují D-brány , Ramond-Ramondovy síly pole a některé spinory na zobecněné složité rozvody.

Ve fyzice kondenzovaných látek byla K-teorie použita ke klasifikaci topologických izolantů , supravodičů a stabilních Fermiho povrchů .

Grothendieckova konstrukce

Grothendieckova konstrukce je nezbytnou součástí pro konstrukci K-teorie. Buď monoid. Označme následujícím vztahem ekvivalence na $(A,+')$ $\sim$ $A\times A:$

(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})

pokud existuje taková, že Pak má množina strukturu skupiny , kde: $c\in A,$ $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c.$ $G(A)=A\times A/\sim$ $(G(A),+)$

[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+' b_{2})]

Třídy ekvivalence v této skupině by měly být považovány za formální rozdíly prvků v abelovském monoidu.

Chcete-li lépe porozumět této skupině, zvažte některé třídy ekvivalence Abelova monoidu . Jednotku monoidu označujeme jako . Za prvé, pro všechny , protože můžeme dát a použít rovnost ze vztahu ekvivalence dostat . To znamená $(A,+)$ $0$ $(0,0)\sim (n,n)$ $n\in A$ $c=0$ $n=n$

[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0

proto máme aditivní inverzní pro každý prvek v . Proto lze na třídy ekvivalence nahlížet jako na formální rozdíly . Dalším užitečným pozorováním je invariance tříd ekvivalence při škálování: $G(A)$ $[(a,b)]\in G(A)$ $ab$

(a,b)\sim (a+k,b+k)

pro všechny

k\in A

Na konstrukci Grothendieck lze pohlížet jako na funktor . Je ponechán konjugovaný s ohledem na odpovídající funktor zapomínání . Jinými slovy, pokud je abelovský monoid, je abelovská grupa, pak každý homomorfismus abelovských monoidů může být spojen s jedinečným grupovým homomorfismem . $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$ $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} .$ $A$ $B$ $\phi :A\to U(B)$ $G(A)\to B$

Dobrým příkladem ke zvážení je Abelův monoid , množina přirozených čísel. Můžeme to vidět . Pro jakýkoli pár můžeme najít minimálního zástupce pomocí škálovací invariance. Například, $\mathbb {N}$ $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$ $(a,b)$ $(a',b')$

(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)

Obecně, když nastavíme , pak to zjistíme $k=\min\{a,b\}$

(a,b)\sim (ak,bk)

, který má podobu resp

(c,0)

(0,d).

To ukazuje, co si můžeme představit jako kladná celá čísla a -- jako záporná celá čísla. ${\displaystyle(a,0)}$ $(0,b)$

Definice

Existuje řada základních definic K-teorie: dvě z topologie a dvě z algebraické geometrie.

Nechť je kompaktní Hausdorffův topologický prostor . Označte jako množinu konečných rozměrových vektorových svazků až po izomorfismus a třídu izomorfismu vektorového svazku nechejte označovat . Protože třídy izomorfismu vektorových svazků se chovají dobře s ohledem na přímé součty, můžeme definovat přímý součet dvou prvků jako $X$ ${\text{Vect}}(X)$ $X$ $\pi :E\to X$ $[E]$ ${\text{Vect}}(X)$

[E]\oplus [E']=[E\oplus E']

Je jasné, že se jedná o abelovský monoid, jehož identita je dána triviálním vektorovým svazkem . Potom můžeme použít Grothendieckovu konstrukci k získání abelovské grupy z tohoto abelovského monoidu. Tato skupina se nazývá K-teorie a označuje se . $({\text{Vect}}(X),\oplus )$ $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$ $X$ $K^{0}(X)$

Serre–Swanův teorém umožňuje podat alternativní popis vektorových svazků jako projektivních modulů nad kruhemspojitých komplexních funkcí naPotom je lze identifikovat s idempotentními maticemi v nějakém maticovém kruhu. Můžeme definovat třídy ekvivalence idempotentních matic a vytvořit abelovský monoid. Jeho návrh Grothendieck se také nazývá. $C^{0}(X;\mathbb {C} )$ $X.$ $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$ ${\textbf {Idem}} (X)$ $K^{0}(X)$

V algebraické geometrii lze stejnou konstrukci aplikovat na algebraické vektorové svazky přes hladká schémata. Existuje také alternativní konstrukce pro jakékoli noetheriánské schéma . Konkrétně na množině tříd izomorfismu koherentních svazků na jednom lze zavést vztah ekvivalence: pokud existuje krátká přesná posloupnost $X$ $\operatorname {Coh} (X)$ $X$ $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$

0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.

To dává skupinu , která je izomorfní , pokud je schéma hladké. Skupina má také kruhovou strukturu, definovanou jako $K_{0}(X)$ $K^{0}(X)$ $X$ $K_{0}(X)$

[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{ \mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].

Pomocí Grothendieck-Riemann-Rochovy věty to máme

\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}

je izomorfismus kruhů. Můžeme tedy použít pro teorii průniku. $K_{0}(X)$

Raná historie

Dá se říci, že toto téma začíná Alexandrem Grothendieckem (1957), který jej použil k formulaci své Grothendieck-Riemann-Rochovy věty. Název "K-teorie" pochází z německého "Klasse" ("třída"). Grothendieck studoval koherentní snopy na algebraické odrůdě „X“. Namísto přímé práce se svazky definoval skupinu pomocí tříd izomorfismu svazků jako generátorů se vztahem, který identifikuje jakékoli prodloužení dvou svazků s jejich součtem. Výsledná skupina se nazývá "K(X)", pokud jsou uvažovány pouze lokálně volné svazky , nebo "G(X)", pokud jsou všechny svazky koherentní. Každá z těchto dvou konstrukcí se nazývá Grothendieck skupina "K(X)" má cohomologické chování a "G(X)" má homologické chování.

Pokud je "X" hladká odrůda, pak jsou tyto dvě skupiny stejné. Pokud se jedná o hladkou afinní odrůdu, pak se všechny nástavce lokálně volných snopů rozdělují, takže skupina má alternativní definici.

V topologii , aplikováním stejné konstrukce na vektorové svazky, Michael Atiyah a Friedrich Hirzebruch definovali „K(X)“ pro topologický prostor „X“ v roce 1959 a pomocí Bottova teorému o periodicitě z něj udělali základ rozšířené cohomologické teorie. To hrálo důležitou roli ve druhém důkazu Atiyah-Singerovy indexové věty (cca 1962). Navíc tento přístup vedl k nekomutativní K-teorii pro C*-algebry .

Již v roce 1955 použil Jean-Pierre Serre paralelu mezi vektorovými svazky a projektivními moduly k formulaci Serreovy domněnky , která říká, že každý konečně generovaný projektivní modul nad polynomiálním kruhem je volný ; toto tvrzení se ukázalo jako pravdivé, ale bylo prokázáno až o 20 let později. (Serra-Swanova věta je dalším aspektem této analogie.)

Další vývoj

Dalším historickým zdrojem pro algebraickou K-teorii byla práce J. G. C. Whiteheada a kol. o tom, co se později stalo známým jako Whiteheadova torze.

Následovalo období, kdy byly dány různé dílčí definice „vyšších funktorů K-teorie“. Nakonec dvě užitečné a ekvivalentní definice uvedl Daniel Quillen pomocí teorie homotopie v roce 1969 a 1972. Variantu dal také Friedhelm Waldhausen ke studiu „algebraické K-teorie prostorů“, která souvisí se studiem pseudoizotopií. Mnoho moderních studií vyšší K-teorie je spojeno s algebraickou geometrií a studiem motivické kohomologie .

Odpovídající konstrukce zahrnující pomocnou kvadratickou formu se nazývají L-teorie . Je to hlavní nástroj Morseovy chirurgie .

V teorii strun byla klasifikace Ramond-Ramondových napěťových polí a nábojů stabilních D-brán poprvé navržena v roce 1997 [2] .

Příklady

Nejjednodušším příkladem grupy Grothendieck je Grothendieck grupa bodu pro pole . Protože vektorový svazek nad tímto prostorem je jednoduše konečnorozměrný vektorový prostor, který je volným objektem v kategorii koherentních svazků (proto také projektivní), třída izomorfismu monoid je , podle rozměru vektorového prostoru. Odpovídající skupina Grothendieck je . ${\text{Spec))(\mathbb {F} )$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$
Jednou z důležitých vlastností Grothendieckovy grupy noetherovského schématu je, že [3] . Proto je Grothendieck grupa jakékoli Artinovy -algebry rovna . $X$ $K(X)=K(X_{\text{red)))$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {Z}$
Dalším důležitým vzorcem pro Grothendieckovu skupinu je vzorec projektivního svazku: [4] jestliže je vektorový svazek hodnosti „r“ nad noetherovským schématem , pak Grothendieckova grupa projektivního svazku je volným modulem hodnosti „r“ s základ . Tento vzorec umožňuje vypočítat Grothendieck skupinu . ${\mathcal {E}}$ $X$ $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$ $K(X)$ ${\displaystyle 1,\xi ,\tečky ,\xi ^{n-1))$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n))$

Aplikace

Virtuální balíčky

Jednou z užitečných aplikací skupiny Grothendieck je definice virtuálních vektorových svazků. Například, pokud máme vložení hladkých mezer , pak existuje krátká přesná sekvence $Y\hookrightarrow X$

0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0

kde je konnormální svazek v . Pokud máme speciální prostor vložený do hladkého prostoru , definujeme virtuální konormální svazek jako $C_{Y/X}$ $Y$ $X$ $Y$ $X$

[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]

Další užitečná aplikace virtuálních svazků souvisí s definicí virtuálního tečného svazku pro průnik prostorů: nechť jsou projektivní podvariety hladké projektivní variety. Pak můžeme definovat virtuální tečný svazek jejich průsečíku jako $Y_{1},Y_{2}\subset X$ $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$

[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}] |_{Z}.

Kontsevich používá tuto konstrukci v jednom ze svých děl. [5]

Zhenovy postavy

Chernovy třídy lze použít ke konstrukci kruhového homomorfismu z topologické K-teorie prostoru k (dokončení) jeho racionálních cohomologických kruhů. Chernův symbol "ch" svazku vedení "L" je definován vzorcem

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Obecněji, pokud je přímým součtem svazků řádků, u prvních tříd Chern je znak Chern definován aditivně ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\tečky +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\tečky +x_{n}^{m}).

Symbol Chern je zčásti užitečný, protože usnadňuje výpočet třídy Chern u tenzorového součinu. Chernův symbol se používá při formulaci Hirzebruch-Riemann-Rochovy věty.

Ekvivariantní K-teorie

Ekvivariantní algebraická K-teorie je algebraická K-teorie související s kategorií ekvivariančních koherentních svazků na algebraickém schématu s lineární algebraickou grupovou akcí , prostřednictvím Quillenovy Q-konstrukce; tedy z definice $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ $X$ $G$

K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).

Konkrétně se jedná o skupinu Grothendieck . Tuto teorii vyvinul R. W. Thomason v 80. letech 20. století. [6] Zejména dokázal ekvivalentní analogy základních teorémů, jako je lokalizační teorém. $K_{0}^{G}(C)$ $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$

Viz také

Bottova periodicita
Teorie kontroly kvality
teorie CR
Seznam cohomologických teorií
Algebraická K-teorie
Topologická K-teorie
Operátor K-theory
Grothendieck-Riemann-Rochova věta

Poznámky

↑ [[ Michael Atiyah |Atiyah, Michael]] (2000), K-Theory Past and Present, arΧiv : math/0012213 .
↑ Ruben Minasian ( http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7 Archivováno 22. září 2020 na Wayback Machine ) a Gregory Moore v K-teorii a Ramondově svěření – Ramonda archivována z 21. dubna 2020 na Wayback Machine
↑ Grothendieck skupina pro projektivní prostor nad duálními čísly . mathoverflow.net . Získáno 16. dubna 2017. Archivováno z originálu dne 17. dubna 2017. (neurčitý)
↑ Manin, Jurij Ivanovič . Přednášky o K-funktoru v algebraické geometrii (anglicky) // Uspekhi matematicheskikh nauk : journal. - Ruská akademie věd , 1969. - 1. ledna ( roč. 24 , č. 5 ). - str. 1-89 . — ISSN 0036-0279 . - doi : 10.1070/rm1969v024n05abeh001357 . - .
↑ [[ Maxim Kontsevich |Kontsevich, Maxim]] (1995), Výčet racionálních křivek pomocí torusových akcí, Modulový prostor křivek (Texel Island, 1994) , sv. 129, Progress in Mathematics, Boston, MA: Birkhauser Boston, str. 335–368
↑ Charles A. Weibel, Robert W. Thomason (1952–1995) Archivováno 7. února 2020 na Wayback Machine .

Literatura

Atiyah M. Přednášky o K - teorii . - M . : Zahraniční literatura, 1967. - 261 s.

Odkazy

Michael Atiyah . K-teorie. — 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Handbook of K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-27855-9 .
Park, Efton. Komplexní topologická K-teorie. - Cambridge University Press , 2008. - V. 111. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8 .
Swan, RGAlgebraická K-teorie. - Springer , 1968. - T. 76. - (Poznámky z matematiky). — ISBN 3-540-04245-8 .
Karoubi MaxK-teorie: úvod. - Springer-Verlag , 1978. - (Klasika v matematice). — ISBN 0-387-08090-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-79890-3 .
Karoubi, Max (2006), K-teorie. Základní úvod, arΧiv : math/0602082 .
Hatcher, Allen Vector Bundles & K-Theory (2003). (neurčitý)
Weibel, CharlesK-kniha: úvod do algebraické K- teorie . - Americká matematická společnost, 2013. - Sv. 145.-(grad. studia matematiky). - ISBN 978-0-8218-9132-2 .