C*-algebra

C*-algebra je Banachova algebra s involucí , která splňuje vlastnosti adjungovaného operátoru .

Speciálním případem C*-algebry je komplexní algebra nad polem A spojitých lineárních operátorů na komplexním Hilbertově prostoru se dvěma dalšími vlastnostmi:

A je topologicky uzavřená množina v topologii normy operátora .
A je uzavřena při operaci přijímání konjugací operátorů .

Další důležitou třídou ne-Hilbertových C*-algeber jsou algebry spojitých funkcí na prostoru . $C_{0}(X)$ $X$

C*-algebry byly nejprve uvažovány hlavně s cílem využít je v kvantové mechanice k modelování algeber fyzikálně pozorovatelných objektů. Tato linie výzkumu začala s maticovou kvantovou mechanikou Wernera Heisenberga a ve více matematické podobě s prací Pascuala Jordana kolem roku 1933. Následně se John von Neumann pokusil stanovit obecnou strukturu těchto algeber vytvořením série článků o operátorových prstencích. Tyto články se zabývaly speciální třídou C*-algeber, které jsou nyní známé jako von Neumannovy algebry .

Kolem roku 1943 dali Israel Gelfand a Mark Naimark teoretickou charakteristiku C*-algeber za použití pojmu zcela pravidelných kruhů [1] .

C*-algebry jsou v současnosti důležitým nástrojem v teorii unitárních reprezentací lokálně kompaktních grup a používají se také v algebraických formulacích kvantové mechaniky . Další aktivní oblastí výzkumu je klasifikace nebo stanovení stupně možné klasifikace pro oddělitelné jednoduché jaderné C*-algebry.

Formální definice

C*-algebra [2] je Banachova algebra A nad oborem komplexních čísel , pro jejíž všechny prvky je definováno zobrazení s následujícími vlastnostmi: ${\textstyle x\in A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Toto mapování je involucí pro každé x v A :

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

Pro všechna x , y v A :

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

Pro každé komplexní číslo v a každé x v A : $\lambda$ $\mathbb {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

Pro všechna x v A :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Poznámka. První tři identity říkají, že A je *-algebra . Poslední identita se nazývá C*-identita a je ekvivalentní vzorci

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

C*-identita je velmi silný požadavek. Například spolu se vzorcem spektrálního poloměru vyplývá, že C*-norma je jednoznačně určena algebraickou strukturou:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ nevratné}}\}.

Omezený operátor : A B mezi C*-algebrami A a B se nazývá *-homomorfismus , pokud $\pi$ $\na$

pro všechna x a y z A ,

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)

pro všechna x od A ,

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}

V případě C*-algeber je jakýkoli *-homomorfismus mezi C*-algebrami kontrakční, tj. ohraničený normou . Navíc injektivní *-homomorfismus mezi C*-algebrami je izometrický . Tyto vlastnosti jsou důsledky C*-identity. $\pi$ $\leq 1$

Bijektivní *-homomorfismus se nazývá C*-izomorfismus , v takovém případě se A a B říká , že jsou izomorfní . $\pi$

Poznámky

↑ I. Gelfand , M. Neumark . O vkládání normovaných kruhů do kruhu operátorů v Hilbertově prostoru , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Tato definice byla poprvé uvedena v článku I. Gelfanda , M. Neumarka . O vkládání normovaných kruhů do kruhu operátorů v Hilbertově prostoru , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

Odkazy

J. Murphy. C *-Algebry a teorie operátorů = C *-Algebry a teorie operátorů. - M .: Faktorial, 1997. - ISBN 5-88688-016-X .
Arveson W. Pozvánka do C*-Algebra (anglicky). -New York:Springer-Verlag, 1976. - Sv. 13 Absolventské texty z matematiky. — 106p. —ISBN 0-387-90176-0.
Connes, Alain , Nekomutativní geometrie , ISBN 0-12-185860-X , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 , < https://archive.org/details/calgebras0000dixm >
Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
Emch, G. (1972), Algebraické metody ve statistické mechanice a kvantové teorii pole , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
AI Shtern (2001), C* algebra , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Sakai, S. (1971), C*-algebry a W*-algebry , Springer, ISBN 3-540-63633-1
Segal, Irving (1947), Irreducibilní reprezentace operátorových algeber , Bulletin of the American Mathematical Society, svazek 53 (2): 73–88 , DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5