Maticová kvantová mechanika

Maticová kvantová mechanika ( maticová mechanika ) je formulace kvantové mechaniky vytvořená Wernerem Heisenbergem , Maxem Bornem a Pascualem Jordanem v roce 1925. Maticová kvantová mechanika byla první koncepčně autonomní a logicky konzistentní formulací kvantové mechaniky. Její popis kvantových skoků nahradil Bohrův model pro elektronové dráhy . To bylo provedeno interpretací fyzikálních vlastností částic jako matric , které se vyvíjejí v průběhu času. Maticová mechanika je ekvivalentní Schrödingerově vlnové formulaci kvantové mechaniky [1] , jak se objevuje v Diracově podprsence a notaci ket .

Na rozdíl od vlnové formulace se v maticové mechanice spektra operátorů (především energetických) získávají čistě algebraickými metodami žebříkových operátorů [2] . Na základě těchto metod získal Wolfgang Pauli v roce 1926 [3] před rozvojem vlnové mechaniky spektrum atomu vodíku .

Vývoj maticové mechaniky

V roce 1925 Werner Heisenberg , Max Born a Pascual Jordan formulovali maticovou kvantovou mechaniku [4] .

Fáze vynoření na Helgolandu

V roce 1925 Werner Heisenberg pracoval v Göttingenu na problému výpočtu spektrálních čar vodíku . V květnu 1925 se pokoušel popsat atomové systémy pouze z hlediska pozorovatelných . Aby se vyhnul účinkům akutního záchvatu senné rýmy , odjel 7. června Heisenberg na bezpylový ostrov Helgoland v Severním moři . Zatímco tam, mezi lezením a memorováním veršů z Goethova západo-východního divanu , pokračoval ve spekulacích o spektrálním problému a nakonec si uvědomil, že za předpokladu, že pozorovatelné objekty nedojíždějící do práce by mohly problém vyřešit. Později napsal:

Byly asi tři hodiny ráno, když se přede mnou objevil konečný výsledek výpočtu. Nejprve jsem byl hluboce šokován. Byla jsem tak vzrušená, že jsem nemohla myslet na spánek. Vyšel jsem tedy z domu a čekal na východ slunce na vrcholu skály [5] .

Tři zásadní články

Poté, co se Heisenberg vrátil do Göttingenu, ukázal Wolfgangu Paulimu své výpočty a jednou poznamenal:

Pro mě je to stále nejasné a nejasné, ale zdá se, že elektrony již nebudou obíhat [6] .

9. července předal Heisenberg stejný papír se svými výpočty Maxi Bornovi s tím, že „napsal šílenou práci a neodvážil se ji poslat k publikaci a Born by si ji měl přečíst a poradit mu“ před publikací. Heisenberg poté krátce odešel a nechal Borna, aby analyzoval papír [7] .

V článku Heisenberg formuloval kvantovou teorii bez jasných elektronových drah. Hendrik Kramers již dříve vypočítal relativní intenzity spektrálních čar v Sommerfeldově modelu a interpretoval Fourierovy koeficienty oběžných drah jako intenzity. Ale jeho odpověď, stejně jako všechny ostatní výpočty ve staré kvantové teorii , platila pouze pro velké oběžné dráhy .

Heisenberg si po spolupráci s Kramersem [8] začal uvědomovat, že pravděpodobnosti přechodu nejsou zcela klasické veličiny, protože Fourierova řada by měla zahrnovat pouze frekvence pozorované při kvantových skocích, a nikoli ty smyšlené, které pocházejí z Fourierovy analýzy exaktních klasické dráhy. Klasickou Fourierovu řadu nahradil maticí koeficientů, fuzzy kvantovou analogií Fourierovy řady. Klasicky Fourierovy koeficienty udávají intenzitu emitovaného záření , takže v kvantové mechanice byla velikostí prvků matice operátoru souřadnice intenzita záření ve spektru jasných čar. Veličiny v Heisenbergově formulaci byly klasické souřadnice a hybnost, ale nyní již nebyly dobře definovány. Každá hodnota byla reprezentována sadou Fourierových koeficientů se dvěma indexy odpovídajícími počátečnímu a konečnému stavu [9] .

Když Born četl noviny, uvědomil si, že formulaci lze dešifrovat a rozšířit na systematický jazyk matric [10] , který studoval pod vedením Jacoba Rosanese [11] na univerzitě v Breslau . Born ji s pomocí svého asistenta a bývalého studenta Pascuala Jordana okamžitě začal analyzovat a rozšiřovat a své výsledky předložili k publikaci; papír byl přijat k publikaci jen 60 dnů po Heisenbergově [12] papíru .

Do konce roku byl všemi třemi autory předložen k publikaci navazující článek [13] (Stručný přehled Bornovy role ve vývoji maticové mechaniky spolu s diskusí o klíčovém vzorci zahrnujícím nekomutativitu amplitud pravděpodobnosti , lze nalézt v práci Jeremyho Bernsteina [14] Podrobnou historickou a technickou zprávu lze nalézt v Mehra and Rechenberg's Historical Development of Quantum Theory, Volume 3. Formulation of Matrix Mechanics and its Modifications 1925-1926 [15] )

Tři základní články:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (obdrženo 29. července 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
M. Born a P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (obdrženo 27. září 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg a P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (obdrženo 16. listopadu 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: On Quantum Mechanics II ).]

Do té doby fyzici zřídka používali matice; byly považovány za náležející do oblasti čisté matematiky. Gustav Mie je použil v článku o elektrodynamice v roce 1912 a Born je použil ve své práci o teorii krystalových mřížek v roce 1921. I když byly v těchto případech použity matice, do hry nevstoupila algebra matic s jejich násobením, jako v maticové formulaci kvantové mechaniky [16] .

Born se však naučil maticovou algebru od Rosanese, jak bylo uvedeno, ale Born se také naučil Hilbertovu teorii integrálních rovnic a kvadratických forem pro nekonečný počet proměnných, jak lze vidět z Bornova citátu z Hilbertovy Grundzüge einer allgemeinen Theorie der. Linearen Integralgleichungen publikované v roce 1912 [17] [18] .

Jordan byl na tento úkol také dobře připraven. Řadu let byl asistentem Richarda Couranta v Göttingenu při přípravě Courantova a Davida Hilbertova Methods of Mathematical Physics I, která vyšla v roce 1924 [19] Tato kniha naštěstí obsahovala mnoho matematických nástrojů nezbytných pro další vývoj. kvantová mechanika.

V roce 1926 se John von Neumann stal asistentem Davida Hilberta a vytvořil termín Hilbertův prostor pro popis algebry a analýzy, které byly použity při vývoji kvantové mechaniky [20] [21] .

Klíčový příspěvek k této formulaci učinil Dirac v roce 1925 ve svém článku o reinterpretaci/syntéze [22] , který vynalezl jazyk a strukturu běžně používanou dnes, plně demonstrující nekomutativní strukturu celé konstrukce.

Heisenbergova úvaha

Před příchodem maticové mechaniky popisovala stará kvantová teorie pohyb částice po klasické dráze s přesně definovanou polohou a hybností X ( t ), P ( t ) s omezením, že integrál v čase za jednu periodu T hybnosti krát rychlost musí být celé číslo kladný násobek Planckovy konstanty

\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh

Ačkoli toto omezení správně vybírá oběžné dráhy s více či méně správnými energetickými hodnotami En , starý kvantově mechanický formalismus nepopisoval časově závislé procesy, jako je emise nebo absorpce záření.

Když je klasická částice slabě spojena s radiačním polem, takže radiační tlumení lze zanedbat, bude vyzařovat ve vzoru, který se opakuje každou otočku . Frekvence, které tvoří vyzařovanou vlnu, jsou pak násobky orbitální frekvence, a to je odrazem skutečnosti, že X ( t ) je periodické, takže její Fourierova reprezentace má pouze frekvence 2π n/T.

{\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n))

Koeficienty X n jsou komplexní čísla . Ty se zápornými frekvencemi musí být komplexními sdruženými veličinami s kladnými frekvencemi, takže X ( t ) bude vždy skutečné,

X_{n}=X_{-n}^{*}

Na druhou stranu kvantově mechanická částice nemůže nepřetržitě vyzařovat, může pouze emitovat fotony. Za předpokladu, že kvantová částice začala na dráze číslo n , emitovala foton a poté skončila na dráze číslo m , zjistíme, že energie fotonu je rovna rozdílu energetických hladin E n − E m , což znamená, že její frekvence je stejná do ( E n − E m )/ h .

Pro velká čísla n a m , ale pro relativně malá n − m se jedná o klasické frekvence podle Bohrova korespondenčního principu

E_{n}-E_{m}\přibližně h(nm)/T

Ve vzorci nahoře je T klasická perioda buď n nebo m , protože rozdíl mezi nimi je vyššího řádu v h . Ale pro malá n a m , nebo pro velká n − m , frekvence nejsou celočíselnými násobky žádné jednotlivé frekvence.

Protože frekvence emitované částicí jsou stejné jako frekvence ve Fourierově popisu jejího pohybu, něco se v časově závislém popisu částice mění s frekvencí ( E n − E m )/ h . Heisenberg nazval tuto veličinu X nm a požadoval, aby byla redukována na klasické Fourierovy koeficienty v klasické limitě. Pro velké hodnoty n , m , ale s relativně malými n − m , je X nm ( n − m ) -tý Fourierův koeficient klasického pohybu na oběžné dráze n . Protože X nm má frekvenci opačnou než X mn , podmínka pro to, aby X bylo skutečné , má tvar

X_{nm}=X_{mn}^{*}

Podle definice má X nm pouze frekvenci ( E n − E m )/ h , takže jeho časový vývoj je jednoduchý:

X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)

Toto je původní forma Heisenbergovy pohybové rovnice.

Vzhledem ke dvěma maticím X nm a P nm popisujícím dvě fyzikální veličiny by Heisenberg mohl vytvořit novou matici stejného typu spojením členů X nk P km , které rovněž oscilují na požadované frekvenci. Protože Fourierovy koeficienty součinu dvou veličin jsou konvolucemi Fourierových koeficientů každé z nich samostatně, korespondence s Fourierovou řadou umožnila Heisenbergovi odvodit pravidlo, podle kterého by se měl součin matic vypočítat.

{\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn))

Born poukázal na to, že toto je zákon násobení matic , takže poloha, hybnost, energie, všechny pozorovatelné veličiny v teorii jsou interpretovány jako matice. Podle tohoto pravidla závisí součin na pořadí matic: XP se liší od PX .

Matice X je úplný popis pohybu kvantově mechanické částice. Protože frekvence v kvantovém pohybu nejsou násobky společné frekvence, nelze prvky matice interpretovat jako Fourierovy koeficienty přesné klasické trajektorie . Obě matice X ( t ) a P ( t ) však splňují klasické pohybové rovnice; viz také Ehrenfestův teorém níže.

Základní vlastnosti matic

Když Werner Heisenberg, Max Born a Pascual Jordan v roce 1925 zavedli maticovou mechaniku, nebyla okamžitě přijata a byla zpočátku kontroverzní. Schrödingerův pozdější popis vlnové mechaniky získal větší podporu.

Částečným důvodem bylo, že Heisenbergova formulace byla na tu dobu v podivném matematickém jazyce, zatímco Schrödingerova byla založena na známých vlnových rovnicích. Byl tu ale i hlubší sociologický důvod. Kvantová mechanika se vyvíjela dvěma způsoby: jeden byl veden Einsteinem, který zdůrazňoval dualitu vlna-částice, kterou navrhoval pro fotony, a druhý byl veden Bohrem, který zdůraznil diskrétní energetické stavy a kvantové skoky objevené Bohrem. De Broglie reprodukoval diskrétní energetické stavy v rámci Einsteinovy teorie – kvantový stav je stav stojaté vlny a to dalo zastáncům Einsteinovy školy naději, že všechny diskrétní aspekty kvantové mechaniky budou zahrnuty do mechaniky spojitých vln.

Na druhé straně maticová mechanika vzešla z Bohrovy školy diskrétních energetických stavů a kvantových skoků. Bohrovi následovníci vůbec neocenili fyzikální modely, které zobrazovaly elektrony jako vlny nebo cokoli jiného. Raději se zaměřili na veličiny přímo související s experimenty.

V atomové fyzice poskytla spektroskopie pozorovací data o atomových přechodech, ke kterým dochází, když atomy interagují se světelnými kvanty . Bohrovi následovníci požadovali, aby se v teorii objevovaly pouze ty veličiny, které lze v principu změřit spektroskopií. Tyto veličiny zahrnují energetické hladiny a intenzity spektrálních čar, ale nezahrnují přesnou polohu částice na její Bohrově oběžné dráze. Je velmi obtížné si představit experiment, který by mohl určit, zda je elektron v základním stavu atomu vodíku napravo nebo nalevo od jádra. Panovalo hluboké přesvědčení, že na takové otázky neexistují žádné odpovědi.

Formulace matrice byla postavena na předpokladu, že všechny fyzikální pozorovatelné veličiny jsou reprezentovány matricemi, jejichž prvky jsou indexovány dvěma různými energetickými hladinami. Nakonec byla množina vlastních hodnot matice chápána jako množina všech možných hodnot, které by pozorovatelná mohla mít. Vzhledem k tomu, že Heisenbergovy matice jsou hermitovské , jsou vlastní hodnoty skutečné.

Při měření pozorovatelného je výsledkem určitá vlastní hodnota odpovídající vlastnímu vektoru představujícímu stav systému bezprostředně po měření. Akt měření v maticové mechanice "zhroutí" stav systému. Jsou-li dvě pozorovatelné veličiny měřeny současně, stav systému se zhroutí na společný vlastní vektor těchto dvou pozorovatelných veličin. Protože většina matic nemá společné vlastní vektory, většinu pozorovatelných nelze nikdy přesně měřit současně. Toto je princip neurčitosti .

Pokud mají dvě matice společné vlastní vektory, lze je současně diagonalizovat. V základu, kde jsou obě diagonální, jejich součin nezávisí na jejich pořadí, protože násobení diagonálních matic je prostě násobení čísel. Princip neurčitosti je naproti tomu vyjádřením skutečnosti, že často dvě matice A a B ne vždy komutují, tj. že AB − BA nemusí být nutně rovno 0. Základní komutační vztah maticové mechaniky,

{\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih \over 2\pi }~\delta _{nm))

znamená, že neexistují žádné stavy, které mají současně určitou polohu a hybnost .

Tento princip neurčitosti platí také pro mnoho dalších párů pozorovatelných veličin. Energie například také nekomutuje se souřadnicí, takže není možné přesně určit polohu a energii elektronu v atomu.

Nobelova cena

V roce 1928 Albert Einstein nominoval Heisenberga, Borna a Jordana na Nobelovu cenu za fyziku [23] . Vyhlášení Nobelovy ceny za fyziku za rok 1932 bylo odloženo až do listopadu 1933 [24] . Tehdy bylo oznámeno, že Heisenberg obdržel v roce 1932 cenu „za vytvoření kvantové mechaniky, jejíž aplikace vedla mimo jiné k objevu alotropních forem vodíku“ [25] , a Erwin Schrödinger a Paul Adrien Maurice Dirac se podělil o cenu za rok 1933 „za objev nových produktivních forem atomové teorie“ [25] .

Někdo se může divit, proč nebyla Bornovi udělena cena v roce 1932 spolu s Heisenbergem, a Bernstein o tom spekuluje. Jeden z nich se týká Jordánského vstupu do nacistické strany 1. května 1933 a stává se stormtrooperem [26] . Jordanova stranická příslušnost a Jordanovy vazby na Bournea mohly v té době ovlivnit Bourneovy šance na získání ceny. Bernstein dále poznamenává, že když Born v roce 1954 konečně obdržel cenu, Jordan byl stále naživu a cena byla udělena za statistickou interpretaci kvantové mechaniky připisovanou pouze Bornovi [27] .

Heisenbergova komunikace s cenou Borna z Heisenbergu za rok 1932 a to, že Born obdržel cenu v roce 1954, je také poučné pro posouzení, zda by se Born měl o cenu podělit s Heisenbergem. 25. listopadu 1933 obdržel Born dopis od Heisenberga, ve kterém uvedl, že se s dopisem opozdil kvůli „špatnému svědomí“, že on jediný obdržel cenu „za práci vykonanou v Göttingenu ve spolupráci – vy, Jordan a já." Heisenberg dále řekl, že příspěvek Borna a Jordana ke kvantové mechanice nelze změnit „nesprávným rozhodnutím zvenčí“ [28] .

V roce 1954 napsal Heisenberg článek věnovaný Maxi Planckovi o jeho poznatku z roku 1900. V článku Heisenberg přiznal Bornovi a Jordanovi zásluhy za konečnou matematickou formulaci maticové mechaniky a poté Heisenberg zdůraznil, jak velký byl jejich přínos pro kvantovou mechaniku, která „nedostala patřičné uznání v očích veřejnosti“ [29] .

Matematický vývoj

Jakmile Heisenberg představil matice pro X a P , byl schopen najít jejich prvky matice ve speciálních případech odhadem, vedený principem korespondence . Protože prvky matice jsou kvantově mechanické protějšky Fourierových koeficientů klasických drah, nejjednodušším případem je harmonický oscilátor , kde klasická souřadnice a hybnost X ( t ) a P ( t ) jsou sinusové.

Harmonický oscilátor

V jednotkách, kde se hmotnost a frekvence oscilátoru rovná jedné (viz nedimenzionizace ), je energie oscilátoru [30]

H={1 \over 2}(P^{2}+X^{2})~.

Sada úrovní H jsou oběžné dráhy ve směru hodinových ručiček a jsou to vnořené kružnice ve fázovém prostoru. Klasická oběžná dráha s energií E je

X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.

Stará kvantová teorie diktuje, že integrál P dX na oběžné dráze, což je oblast kruhu ve fázovém prostoru, musí být celočíselný násobek Planckovy konstanty . Plocha kruhu o poloměru √ 2 E je 2 πE . Takže energie

E={nh \over 2\pi }~,

zadáno v přirozených jednotkách , kde ħ = 1 je celé číslo.

Fourierovy složky X ( t ) a P ( t ) jsou zjednodušené, ještě více, pokud se spojí do množství

A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t) -iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}

Obě veličiny A a A † mají pouze jednu frekvenci a X a P lze rekonstruovat z jejich součtu a rozdílu.

Protože A ( t ) má pouze nejnižší frekvenci klasické Fourierovy řady a prvek matice A mn je ( m − n ) Fourierův koeficient klasické orbity, je matice pro A nenulová pouze v polohách nad diagonálou, kde nabývá hodnot √2 E n . Matice pro A † je také nenulová pouze na pozicích pod úhlopříčkou se stejnými vstupy.

Z A a A † lze tedy psát výrazy pro souřadnici

{\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3} }&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

a hybnost

{\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0& \cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\ 0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

což jsou až do jisté míry Heisenbergovy matice pro harmonický oscilátor. Obě matice jsou hermitovské , protože jsou sestaveny z Fourierových koeficientů reálných hodnot.

Hledání časové závislosti X ( t ) a P ( t ) je zjednodušené, protože se jedná o kvantové Fourierovy koeficienty, takže jejich vývoj v čase je popsán výrazy

X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn} (0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.

Součin matic X a P není hermitovská matice, ale má reálné a imaginární části. Skutečná část je polovina symetrického výrazu XP + PX a imaginární část je úměrná komutátoru

[X,P]=(XP-PX)

Přímou substitucí lze ověřit, že XP − PX se v případě harmonického oscilátoru rovná iħ násobenému jednou .

Podobně je snadné zkontrolovat, že matice

H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})

úhlopříčka s vlastními čísly E i .

Úspora energie

Kvantový popis harmonického oscilátoru je důležitým praktickým příkladem. Je snazší najít matice než stanovit obecné podmínky pro tyto speciální formuláře. Z tohoto důvodu Heisenberg zkoumal anharmonický oscilátor s Hamiltoniánem

H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\epsilon X^{3}~.

V takovém případě X a P již nejsou jednoduché mimodiagonální matice, protože odpovídající klasické orbity jsou mírně stlačeny a posunuty tak, že mají Fourierovy koeficienty na každé klasické frekvenci. K definování prvků matice Heisenberg požadoval, aby se klasické pohybové rovnice řídily maticovými rovnicemi:

{dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\epsilon X^{2}~.

Všiml si, že kdyby to bylo možné, pak by H , uvažovaná jako maticová funkce X a P , měla nulovou časovou derivaci.

{dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\epsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,

kde A∗B je antikomutátor ,

A*B={1 \over 2}(AB+BA)~

Vzhledem k tomu, že všechny mimodiagonální prvky mají nenulovou frekvenci; konstanta H znamená, že H je diagonální. Heisenberg si uvědomil, že v tomto systému lze energii přesně uchovat v libovolném kvantovém systému, což bylo velmi povzbudivé znamení.

Zdálo se, že proces emise a absorpce fotonů vyžaduje, aby zákon zachování energie v nejlepším případě fungoval v průměru. Pokud vlna obsahující právě jeden foton prochází několika atomy a jeden z nich ji pohltí, pak tento atom musí říci ostatním, že již nemohou foton pohltit. Ale pokud jsou atomy daleko od sebe, žádný signál nemůže včas dosáhnout jiných atomů a ty mohou stejně absorbovat stejný foton a rozptýlit energii do prostředí. Když k nim signál dorazí, ostatní atomy budou muset tuto energii nějak vrátit . Tento paradox vedl Bohra, Kramerse a Slatera k opuštění přesné konzervace energie. Heisenbergův formalismus, rozšířený na elektromagnetické pole, jasně zamýšlel obejít tento problém tím, že naznačil, že výklad teorie by zahrnoval kolaps vlnové funkce .

Diferenciační trik - kanonické komutační vztahy

Požadavek na zachování klasických pohybových rovnic není dostatečně silnou podmínkou pro definici maticových prvků. Vzhledem k tomu, že Planckova konstanta se v klasických rovnicích nevyskytuje, matice mohou být konstruovány pro mnoho různých hodnot ħ a stále vyhovují pohybovým rovnicím, ale s různými energetickými hladinami.

Aby mohl Heisenberg implementovat svůj program, musel použít starou kvantovou podmínku k fixaci energetických hladin, poté vyplnit matice Fourierovými koeficienty klasických rovnic a poté mírně změnit maticové koeficienty a energetické hladiny, aby se ujistil, že klasické rovnice držet. Tento přístup nevyhovuje, protože staré kvantové podmínky odkazují na oblast omezenou přesnými klasickými orbitami, které nejsou v novém formalismu.

A co je nejdůležitější, Heisenberg objevil způsob, jak převést starou kvantovou podmínku do jednoduchého prohlášení maticové mechaniky.

K tomu studoval akční integrál jako maticovou veličinu,

\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\ přibližně }}\,\,J_{mn}~.

S tímto integrálem je několik problémů, které všechny pramení z neslučitelnosti maticového formalismu se starým obrazem orbit. Jaké období T použít? Poloklasicky by to mělo být buď m nebo n , ale rozdíl se shoduje v pořadí ħ a odpověď se hledá ve stejném pořadí přesnosti v ħ . Kvantová podmínka nám říká, že J mn je 2π n diagonálně, takže skutečnost, že J je klasicky konstantní, nám říká, že prvky mimo úhlopříčku jsou nulové.

Jeho rozhodujícím objevem bylo rozlišení kvantového stavu vzhledem k n . Tato myšlenka dává plný smysl pouze v klasické limitě, kde n není celé číslo, ale spojitá akční proměnná J , ale Heisenberg provedl podobné manipulace s maticemi, kde mezivýrazy jsou někdy diskrétní rozdíly a někdy derivace.

V následujícím bude pro přehlednost provedena diferenciace s ohledem na klasické proměnné a po ní bude proveden přechod na maticovou mechaniku, vedený principem korespondence.

V klasickém nastavení je derivace celkovou derivací vzhledem k J integrálu, který definuje J , takže je přesně 1.

{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1

=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\,

kde derivace dP/dJ a dX/dJ by měly být interpretovány jako rozdíly v J v odpovídajících časech na blízkých drahách, které lze získat diferenciací Fourierových koeficientů orbitálního pohybu. (Tyto derivace jsou symplekticky ortogonální ve fázovém prostoru k časovým derivacím dP/dt a dX/dt ).

Konečný výraz je upřesněn zavedením proměnné kanonicky konjugované k J , nazývané úhlová proměnná θ : Časová derivace je derivace vzhledem k θ až do faktoru 2π T ,

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.

Kvantový integrál podmínky je tedy průměrem za jeden cyklus Poissonovy závorky X a P.

Podobná diferenciace Fourierovy řady funkce PdX ukazuje, že všechny mimodiagonální prvky Poissonovy závorky jsou rovny nule. Poissonova závorka dvou kanonicky konjugovaných proměnných, jako jsou X a P , má konstantní hodnotu 1, takže tento integrál je skutečně střední hodnotou 1; tak je to 1, jak celou dobu víme, protože je to přece dJ/dJ. Ale Heisenberg, Born a Jordan, na rozdíl od Diraca, nebyli obeznámeni s teorií Poissonových závorek, takže pro ně diferenciace efektivně vyhodnotila { X, P } v souřadnicích J, θ.

Poissonova závorka se na rozdíl od akčního integrálu dá snadno převést do maticové mechaniky - obvykle odpovídá imaginární části součinu dvou proměnných, komutátoru .

Abychom to viděli, musíme prozkoumat (antisymetrizovaný) součin dvou matic A a B v limitu shody, kde prvky matice jsou pomalu se měnícími funkcemi indexu, přičemž je třeba mít na paměti, že v klasickém případě je odpověď nula.

V meze korespondence, kdy jsou indexy m , n velké a blízké a k , r malé, je rychlost změny prvků matice v diagonálním směru prvkem matice J -derivátu odpovídající klasické veličiny. Je tedy možné posunout libovolný prvek matice diagonálně pomocí korespondence,

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\cca r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}\,

kde pravá strana je ve skutečnosti pouze ( m - n )-tá Fourierova složka dA/dJ na oběžné dráze blízko m až do tohoto semiklasického řádu, a ne úplná dobře definovaná matice.

Poloklasická časová derivace maticového prvku se získá až do faktoru i vynásobením vzdáleností od úhlopříčky,

ikA_{m(m+k)}\cca \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \ přes d\theta }\vpravo)_{m(m+k)}\,.

protože koeficient A m(m+k) je semiklasicky k' -tý Fourierův koeficient m -té klasické dráhy.

Imaginární část součinu A a B lze odhadnout posunutím prvků matice takovým způsobem, aby se reprodukovala klasická odpověď, která je nula.

Potom je počáteční nenulový zbytek zcela určen posunem. Protože všechny prvky matice jsou na indexech, které jsou kousek od pozice velkého indexu ( m, m ), je užitečné zavést dvě dočasné notace: A [ r,k ] = A (m+r)(m+ k) pro matice a ( dA/dJ )[ r ] pro r-tou Fourierovu složku klasických veličin,

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k ]B[0,r]\right)

=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(rk){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0 ,kr]+r{dB \over dJ}[rk]\;\vpravo)-\součet _{r}A[r,k]B[0,r]\,.

Změnou součtové proměnné v prvním součtu z r na r' = k - r se prvek matice stane,

\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[kr']\;)\left(\;B[0,r']+( kr'){dB \over dJ}[r']\;\vpravo)-\součet _{r}A[r,k]B[0,r]\,

a to ukazuje, že hlavní (klasická) část je redukována.

Nejvyšší kvantová část, pokud ve zbytku zanedbáme součin derivátů vyššího řádu, pak

\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](kr')A[r',k]-{dA \over dJ}[kr']r'B [0,r']\right)

takže nakonec

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[kr']- {dA \přes dJ}[kr']i{dB \přes d\theta }[r']\vpravo)\,

který lze identifikovat s i vynásobeným k -tou klasickou Fourierovou složkou Poissonovy závorky.

Heisenbergův původní trik s diferenciací byl nakonec ve spolupráci s Bornem a Jordanem rozšířen na úplnou semiklasickou derivaci kvantové podmínky. Jednou se jim to podařilo prosadit

{\frac {ih}{2\pi }}\{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX ={\frac {ih}{2\pi }}\,

tato podmínka nahradila a rozšířila staré kvantovací pravidlo, které umožňovalo určování prvků matice P a X pro libovolný systém jednoduše formou Hamiltoniánu.

Nové kvantovací pravidlo bylo považováno za univerzálně pravdivé , ačkoli odvození ze staré kvantové teorie vyžadovalo semiklasické uvažování. (Nicméně úplné kvantové zpracování složitějších argumentů závorek bylo oceněno ve 40. letech minulého století jako rozšíření Poissonových závorek na závorky Moyale .)

Stavové vektory a Heisenbergova rovnice

Za účelem přechodu na standardní kvantovou mechaniku byl nejdůležitějším dalším přidáním kvantový stavový vektor , nyní označený | ψ ⟩ je vektor, na který působí matice. Bez stavového vektoru není přesně jasné, jaký pohyb Heisenbergovy matice popisují, protože někde zahrnují všechny pohyby.

Interpretaci stavového vektoru, jehož složky jsou zapsány jako ψ m , podal Born. Tato interpretace je statistická: výsledkem měření fyzikální veličiny odpovídající matici A je náhodná veličina s průměrnou hodnotou rovnou

\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}~.

Alternativně, a ekvivalentně, stavový vektor udává pravděpodobnostní amplitudu ψ n pro kvantový systém být v energetickém stavu n .

Jakmile byl zaveden stavový vektor, maticová mechanika mohla být otočena na jakýkoli základ , kde matice H již nemusela být diagonální. Heisenbergova pohybová rovnice ve své původní podobě říká, že A mn se vyvíjí v čase jako Fourierova složka,

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,

které lze převést do diferenciální formy

{dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,

a to lze přeformulovat tak, aby to platilo na libovolném základě, když si všimneme, že H je diagonální s hodnotami úhlopříčky E m ,

{dA \over dt}=i(HA-AH)~.

Nyní je to maticová rovnice, která platí v jakékoli bázi. Toto je moderní forma Heisenbergovy pohybové rovnice.

Jeho formální řešení je:

\,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.

Všechny tyto formy pohybové rovnice výše říkají totéž, že A ( t ) je ekvivalentní A (0) prostřednictvím základní rotace pomocí unitární matice e iHt , což je systematický obrázek objasněný Diracem ve svém zápisu Bra a ket. .

Naopak otočením základny stavového vektoru v každém časovém okamžiku o e iHt lze eliminovat závislost matic na čase. Matice jsou nyní nezávislé na čase, ale stavový vektor se otáčí,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH| \psi \rangle~.

Toto je Schrödingerova rovnice pro stavový vektor a tato časově závislá změna báze je ekvivalentní transformaci na Schrödingerovu reprezentaci s 〈x | ψ ⟩ = ψ(x) .

V kvantové mechanice, v Heisenbergově reprezentaci, stavový vektor | ψ ⟩ se s časem nemění a pozorovatelná A splňuje Heisenbergovu pohybovou rovnici ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

Dodatečný termín pro operátory jako např

A=(X+t^{2}P)

které mají explicitní časovou závislost , navíc k časové závislosti na unitární evoluci.

Heisenbergova reprezentace nerozlišuje čas od prostoru, takže se lépe hodí pro relativistické teorie než Schrödingerova rovnice. Navíc podobnost s klasickou fyzikou je zjevnější: hamiltonovské pohybové rovnice pro klasickou mechaniku jsou obnoveny nahrazením komutátoru nahoře Poissonovou závorkou (viz také níže). Podle Stone-von Neumannovy věty musí být Heisenbergova reprezentace a Schrödingerova reprezentace jednotně ekvivalentní, jak je podrobně popsáno níže.

Další výsledky

Maticová mechanika se rychle vyvinula v moderní kvantovou mechaniku a poskytla počáteční fyzikální výsledky na spektrech atomů.

Vlnová mechanika

Jordan poznamenal, že komutační vztahy zajišťují, že P působí jako diferenciální operátor .

Poměr pro operátory

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]\,

umožňuje výpočet komutátoru P s libovolnou mocninou X , což znamená, že

[P,X^{n}]=-in~X^{n-1}\,

což spolu s linearitou znamená , že P -komutátor efektivně diferencuje jakoukoli analytickou maticovou funkci X.

Za předpokladu, že jsou limity rozumně definovány, vztahuje se to na libovolné funkce – ale rozšíření nemusí být explicitní, pokud není vyžadována určitá míra matematické přesnosti.

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Protože X je hermitovská matice, musí být diagonalizovatelná a z konečného tvaru P bude jasné , že každé reálné číslo může být vlastní hodnotou. To komplikuje matematiku, protože pro každý bod v prostoru existuje samostatný vlastní vektor.

V základu, kde je X diagonální, lze libovolný stav zapsat jako superpozici stavů s vlastními čísly x nebo

|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,

takže ψ (x) = ⟨x | ψ ⟩ a operátor X vynásobí každý vlastní vektor x ,

X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.

Definujeme lineární operátor D , který diferencuje ψ ,

D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,

a všimněte si toho

(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\ range =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,

takže operátor − iD se řídí stejným komutačním vztahem jako P . Rozdíl mezi P a − iD tedy musí komutovat s X ,

[P+iD,X]=0\,

takže to může být současně diagonalizováno s X : jeho hodnota působící na jakýkoli vlastní stav X je nějaká funkce f vlastního čísla x .

Tato funkce musí být reálná, protože P i − iD jsou hermitovské,

(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,

otočení každého stavu o f ( x ) , tj. předefinování fáze vlnové funkce: $|x\rangle$

\psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,

Prohlášení iD se mění:

iD\rightarrow iD+f(X)\,

což znamená, že na rotované bázi se P rovná − iD .

Proto vždy existuje základ pro vlastní hodnoty X , kde je známo působení P na jakoukoli vlnovou funkci:

P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,

a Hamiltonián na tomto základě je lineární diferenciální operátor působící na složky stavového vektoru,

\left[{P^{2} \přes 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[ -{1 \přes 2m}{\částečný ^{2} \přes \částečný x^{2}}+V(x)\vpravo]\psi _{x}|x\rangle

Pohybová rovnice pro stavový vektor tedy není nic jiného než známá diferenciální rovnice

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2)) +V(x)\vpravo]\psi _{t}(x)\,.$

Protože D je diferenciální operátor, aby byl rozumně definován, musí existovat vlastní hodnoty X, které jsou uvedeny v sousedství každé dané hodnoty. To předpokládá, že jedinou možností je, že prostor všech vlastních čísel X sestává ze všech reálných čísel a že P je iD až do přepólování fáze .

Aby byla tato derivace rigorózní, vyžaduje rozumnou diskusi o limitním prostoru funkcí a v tomto prostoru existuje Stone–von Neumannův teorém : libovolné operátory X a P , které se řídí komutačními vztahy, mohou působit na prostor vlnových funkcí s P být operátorem diferenciace. To znamená, že zastoupení Schrödinger je vždy k dispozici.

Maticová mechanika je přirozeně snadno rozšířena na několik stupňů volnosti. Každý stupeň volnosti má samostatný operátor X a samostatný efektivní diferenciální operátor P a vlnová funkce je funkcí všech možných vlastních hodnot nezávislých komutačních proměnných X.

[X_{i},X_{j}]=0\,

[P_{i},P_{j}]=0\,

[X_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}\,.

Konkrétně to znamená, že systém N interagujících částic ve 3 rozměrech je popsán jediným vektorem, jehož složky v bázi, kde všechna X jsou diagonální, je funkce ve 3 N - rozměrném prostoru popisující všechny jejich možné polohy , v podstatě hodně větší soubor hodnot než jen soubor N 3D vlnových funkcí v jednom fyzickém prostoru. Schrödinger nezávisle dospěl ke stejnému závěru a nakonec prokázal rovnocennost svého vlastního formalismu s Heisenbergovým.

Vzhledem k tomu, že vlnová funkce je vlastností celého systému a ne jeho žádné části, není popis v kvantové mechanice zcela lokální. V popisu několika kvantových částic jsou korelovány nebo zapleteny . Toto zapletení vede k důležitým korelacím mezi vzdálenými částicemi, které porušují klasickou Bellovu nerovnost .

Přestože částice mohou být pouze ve dvou souřadnicích, k definování vlnové funkce pro N částic je zapotřebí 2N komplexních čísel , jedno pro každou společnou konfiguraci souřadnic. To je exponenciálně velké číslo, takže simulace kvantové mechaniky na počítači vyžaduje exponenciální zdroje. Naopak to naznačuje, že je možné najít kvantové systémy velikosti N , které fyzicky počítají odpovědi na problémy, které by normálně vyžadovaly 2N bitů klasického počítače k vyřešení. Toto pozorování je jádrem kvantového počítání .

Ehrenfestova věta

Pro časově nezávislé operátory X a P ∂ A /∂ t = 0 se výše uvedená Heisenbergova rovnice redukuje na [31] :

i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA

kde hranaté závorky [*, *] označují komutátor. Pro hamiltonián splňují operátory X a P rovnice: $p^{2}/2m+V(x)$

{dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V

kde první je klasicky rychlost a druhá je klasicky síla nebo potenciální gradient . Reprodukují hamiltonovskou formu Newtonových pohybových zákonů . V Heisenbergově obrázku splňují operátory X a P klasické pohybové rovnice. Můžete vzít očekávanou hodnotu obou stran rovnice, abyste viděli, co je v jakémkoli stavu | ψ⟩ :

{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m} }\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.

Očekávané hodnoty operátorů v jakémkoli daném stavu tedy přesně dodržují Newtonovy zákony. Toto je Ehrenfestův teorém , který je zřejmým důsledkem Heisenbergových pohybových rovnic, ale je méně triviální na Schrödingerově obraze, kde jej Ehrenfest objevil.

Teorie transformace

V klasické mechanice je kanonická transformace souřadnic fázového prostoru transformací, která zachovává strukturu Poissonových závorek. Nové proměnné x', p' jsou navzájem spojeny stejnými Poissonovými závorkami jako původní proměnné x, p . Časová evoluce je kanonická transformace, protože fázový prostor v libovolném čase je stejně dobrou volbou proměnných jako fázový prostor v jakémkoli jiném čase.

Hamiltonovský tok je kanonická transformace tvaru:

x\rightarrow x+dx=x+{\částečné H \over \partial p}dt

p\rightarrow p+dp=p-{\částečné H \over \partial x}dt~.

Protože hamiltonián je libovolná funkce x a p , existují takové infinitezimální kanonické transformace odpovídající každé klasické veličině G , kde G slouží jako hamiltonián k vytvoření proudu bodů ve fázovém prostoru v časovém přírůstku s ,

dx={\partial G \over \partial p}ds=\{G,X\}ds\,

dp=-{\partial G \over \partial x}ds=\{G,P\}ds\,.

Pro obecný tvar funkce A ( x , p ) ve fázovém prostoru je její nekonečně malá změna v každém kroku ds podle tohoto zobrazení

dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.

Veličina G se nazývá infinitezimální generátor kanonické transformace.

V kvantové mechanice existuje analog G , což je hermitovská matice a pohybové rovnice jsou dány komutátory,

dA=i[G,A]ds\,.

Nekonečně malé kanonické pohyby mohou být formálně integrovány stejným způsobem, jako byly integrovány Heisenbergovy pohybové rovnice:

A'=U^{\dagger }AU\,

kde U = e iGs s je libovolný parametr.

Definice kvantové kanonické transformace je tedy libovolná unitární změna báze v prostoru všech stavových vektorů. U je libovolná unitární matice definující komplexní rotaci ve fázovém prostoru,

U^{\dagger }=U^{-1}\,.

Tyto transformace nechávají součet druhých mocnin absolutních hodnot složek vlnové funkce invariantní, zatímco stavy, které jsou navzájem násobky (včetně stavů, které jsou násobeny imaginárními čísly), převádějí na stavy se stejnými násobnostmi.

Výklad matic je takový, že fungují jako generátory pohybu ve stavovém prostoru .

Například pohyb, který P vytváří , lze nalézt řešením Heisenbergovy pohybové rovnice pomocí P jako Hamiltoniánu,

dX=i[X,P]ds=ds\,

dP=i[P,P]ds=0\,.

Jedná se o překlady matice X na násobek matice identity,

X\rightarrow X+sI~.

Toto je interpretace derivačního operátoru D : e iPs = e D , exponenciální derivační operátor je posuv ( Lagrangeův posuvný operátor) .

Operátor X také generuje překlady do P . Hamiltonián generuje posuny v čase , moment hybnosti generuje rotace ve fyzickém prostoru a operátor X 2 + P 2 generuje rotace ve fázovém prostoru .

Když transformace, jako rotace ve fyzickém prostoru, komutuje s hamiltoniánem, nazývá se tato transformace hamiltonovská symetrie — hamiltonián zadaný v otočených souřadnicích je stejný jako původní hamiltonián. To znamená, že změna hamiltoniánu působením generátoru nekonečně malé symetrie L zmizí,

{dH \over ds}=i[L,H]=0\,.

Z toho vyplývá, že změna v generátoru během časového překladu také zmizí,

{dL \over dt}=i[H,L]=0\,

takže matice L je konstantní v čase – to znamená, že je zachována.

Korespondenci jedna ku jedné mezi generátory infinitezimální symetrie a zákony zachování objevila Emmy Noetherová pro klasickou mechaniku, kde Poissonovy závorky jsou komutátory , ale kvantově mechanické uvažování je totožné. V kvantové mechanice vede každá transformace unitární symetrie k zákonu zachování, protože pokud má matice U vlastnost, že

U^{-1}HU=H\,

z toho tedy plyne

UH=HU

a tak je časová derivace U nulová – je zachována.

Vlastní hodnoty unitárních matic jsou čisté fáze, takže hodnota unitární konzervované veličiny je komplexní číslo jednotkové velikosti, nikoli reálné číslo. Jiný způsob, jak to vyjádřit, je, že unitární matice je exponent i krát hermitovská matice, takže aditivně konzervovaná skutečná veličina, fáze, je přesně definována pouze do celočíselného násobku 2π . Pouze když je unitární matice symetrie součástí rodiny, libovolně blízko k identitě, jsou konzervované reálné veličiny jednohodnotové, a pak se požadavek na jejich zachování stává mnohem silnějším omezením.

Symetrie, které lze spojitě vztahovat k matici identity, se nazývají spojité a příklady takových symetrií jsou posuny, rotace a zesílení. Symetrie, které nelze spojitě vztahovat k matici identity, jsou diskrétní a příklady jsou operace prostorové inverze nebo parity a konjugace náboje .

Interpretace matic jako generátorů kanonických transformací patří Paulu Diracovi [32] . Eugene Wigner ukázal, že korespondence mezi symetriemi a maticemi je úplná, pokud zahrneme antiunitární matice popisující symetrie zahrnující obrácení času.

Pravidla výběru

Heisenbergovi bylo z fyzikálních úvah jasné, že druhé mocniny absolutních hodnot prvků matice X , což jsou Fourierovy koeficienty oscilací, dají rychlost emise elektromagnetického záření.

V klasickém limitu velké oběžné dráhy, pokud náboj se souřadnicí X ( t ) a nábojem q kmitá poblíž stejného a opačného náboje v počátku, okamžitý dipólový moment je qX ( t ) a změna v tomto okamžiku se přenáší přímo do časoprostoru změna vektorového potenciálu, který dává zdroj odcházejících sférických vln.

U atomů je vlnová délka emitovaného světla asi 10 000krát větší než poloměr atomu a dipólový moment je jediným příspěvkem k záření, zatímco všechny ostatní podrobnosti o rozložení atomového náboje lze zanedbat.

Bez zohlednění vůle je výkon vyzářený v každém odchozím režimu součtem jednotlivých příspěvků ze čtverce každého nezávislého času Fourierova režimu d ,

P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.

Zde, v Heisenbergově reprezentaci, jsou Fourierovy koeficienty dipólového momentu prvky matice X. Tato korespondence umožnila Heisenbergovi zavést pravidlo pro intenzity přechodu, zlomek času, během kterého je od počátečního stavu i emitován foton a atom přechází do konečného stavu j ,

P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.

To pak umožnilo statistickou interpretaci velikosti maticových prvků: dávají intenzitu spektrálních čar, pravděpodobnost kvantových skoků z emise dipólového záření .

Protože rychlosti přechodu jsou dány prvky matice X , pak v případech, kdy X ij je rovno nule, by měl odpovídající přechod chybět. Říkalo se jim výběrová pravidla , která byla před příchodem maticové mechaniky záhadou.

Libovolný stav atomu vodíku bez zohlednění spinu je označen symbolem | n _ ℓ,m ⟩, kde hodnota ℓ je mírou celkového orbitálního momentu hybnosti a m je jeho z složka, která určuje orientaci oběžné dráhy. Složky pseudovektoru momentu hybnosti jsou

L_{i}=\epsilon _{ijk}X^{j}P^{k}\,

kde součiny v tomto výrazu nezávisí na pořadí faktorů a jsou skutečné, protože různé složky X a P docházejí.

Komutační vztahy L se všemi třemi souřadnicovými maticemi X, Y, Z (nebo s libovolným vektorem) lze snadno najít podle vzorce,

[L_{i},X_{j}]=i\epsilon _{ijk}X_{k}\,

kde operátor L generuje rotace mezi třemi složkami vektoru souřadnicových matic X .

Odtud můžeme uvažovat komutátor L z a souřadnicové matice X, Y, Z,

[L_{z},X]=iY\,

[L_{z},Y]=-iX\,

To znamená, že veličiny X + iY , X − iY se řídí jednoduchými komutačními pravidly,

[L_{z},X+iY]=(X+iY)\,

[L_{z},X-iY]=-(X-iY)\,

Stejně jako prvky matice X + iP a X − iP pro harmonický oscilátor Hamiltonian i tento komutační zákon implikuje, že tyto operátory mají pouze některé prvky mimodiagonální matice ve stavech s určitým m ,

L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X +iY)|m\rangle \,

a matice ( X + iY ) mapuje vlastní vektor L z s vlastním číslem m na vlastní vektor s vlastním číslem m + 1. Podobně ( X − iY ) snižuje m o jedna, zatímco Z nemění hodnotu m .

Takže v základu | ℓ,m ⟩ stavy, kde L 2 a L z mají určité hodnoty, prvky matice kterékoli ze tří složek souřadnic jsou rovny nule, kromě případů, kdy je m stejné nebo se mění o jednu.

To omezuje změnu celkového momentu hybnosti. Jakýkoli stav lze otočit tak, aby jeho moment hybnosti byl co největší ve směru z , kde m = ℓ. Maticový prvek souřadnice působící na | ℓ,m ⟩ může dát pouze hodnoty m vyšší než jedna, takže pokud jsou souřadnice otočeny tak, že konečný stav je | ℓ',ℓ' ⟩, hodnota ℓ' může být nejvýše o jednu větší než největší hodnota ℓ vyskytující se v počátečním stavu. ℓ' je tedy nejvýše ℓ + 1.

Prvky matice zmizí při ℓ' > ℓ + 1 a inverzní prvek matice je určen svou hermiticitou, takže také zmizí při ℓ' < ℓ — 1: dipólové přechody jsou zakázány se změnou momentu hybnosti o více než jednu .

Pravidla sčítání

Heisenbergova pohybová rovnice definuje prvky matice P v Heisenbergově bázi sestávající z prvků matice X .

P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,

který změní diagonální část komutačního vztahu (stopu) na součtové pravidlo pro velikost prvků matice:

\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij }|^{2}=i\,

To dává vztah pro součet intenzit spektroskopické čáry pro přechody do a z libovolného daného stavu, i když aby to bylo naprosto správné, musí být do tohoto součtu zahrnuty příspěvky pravděpodobnosti záchytu záření pro stavy nevázaného rozptylu:

\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,

Poznámky

↑ Zelená, 2000 , str. 53.
↑ Herbert S. Green (1965). Maticová mechanika (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Nizozemsko) ASIN : B0006BMIP8.
↑ Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift fur Physik . 36 (5): 336-363. Bibcode : 1926ZPhy...36..336P . DOI : 10.1007/BF01450175 .
↑ Zelená, 2000 , str. patnáct.
↑ W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, Mnichov, (1969) The Birth of Quantum Mechanics Archived 26 February 2018 at the Wayback Machine .
↑ IQSA International Quantum Structures Association . www.vub.be. _ Získáno 13. listopadu 2020. Archivováno z originálu dne 20. dubna 2021. (neurčitý)
↑ W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (obdrženo 29. července 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (anglický název: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations")]
↑ HA Kramers und W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
↑ Emilio Segrè, Od rentgenových paprsků ke kvarkům: Moderní fyzikové a jejich objevy (WH Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , s. 153-157.
↑ Abraham Pais, Niels Bohr's Times in Physics, Philosophy, and Polity (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , str. 275-279.
↑ Max Born archivován 19. října 2012 na Wayback Machine – Nobelova přednáška (1954)
↑ M. Born a P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (obdrženo 27. září 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ M. Born, W. Heisenberg a P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (obdrženo 16. listopadu 1925). [Anglický překlad v: BL van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ Jeremy Bernstein Max Born a kvantová teorie , Am. J Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
↑ Mehra, svazek 3 (Springer, 2001)
↑ Jammer, 1966, pp. 206-207.
↑ van der Waerden, 1968, str. 51.
↑ Citace od Borna byla v práci Borna a Jordana, druhé práci v trilogii, která zahájila formulaci maticové mechaniky. Viz van der Waerden, 1968, str. 351.
↑ Constance Ried Courant (Springer, 1996) str. 93.
↑ John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49-131 (1929)
↑ Když von Neumann v roce 1932 opustil Göttingen, vyšla jeho kniha o matematických základech kvantové mechaniky, založená na Hilbertově matematice, pod názvem Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Viz: Norman Macrae, John von Neumann: Vědecký génius, který byl průkopníkem moderního počítače, teorie her, zastrašování a mnohem více (přetištěno Americkou jadernou matematickou společností, 1999) a Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .
↑ PAM Dirac, „Základní rovnice kvantové mechaniky“, Proceedings of the Royal Society of London. Série A, obsahující papíry matematického a fyzikálního charakteru , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 online] Archivováno 19. února 2022 na Wayback Machine
↑ Bernstein, 2004, str. 1004.
↑ Greenspan, 2005, str. 190.
↑ 1 2 Nobelova cena za fyziku a 1933 Archivováno 15. července 2008 na Wayback Machine – projev při prezentaci Nobelovy ceny.
↑ Bernstein, 2005, str. 1004.
↑ Bernstein, 2005, str. 1006.
↑ Greenspan, 2005, str. 191.
↑ Greenspan, 2005, s. 285-286.
↑ Zelená, 2000 , str. 61.
↑ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ Dirac, PAM Principy kvantové mechaniky . — 4. revize. - New York: Oxford University Press, 1981. - ISBN 0-19-852011-5 . Archivováno 15. dubna 2017 na Wayback Machine

Literatura

Green, H. Maticová kvantová mechanika / Per. z angličtiny. Ed. A. A. Sokolová. — N.: IO NFMI , 2000. — 160 s. - ISBN 5-80323-362-5 .
Bernstein, Jeremy (2005). „Max Born a kvantová teorie“ . American Journal of Physics . Americká asociace učitelů fyziky (AAPT). 73 (11): 999-1008. DOI : 10.1119/1.2060717 . ISSN 0002-9505 .
Max Born Statistická interpretace kvantové mechaniky . Nobelova přednáška – 11. prosince 1954.
Greenspan, Nancy Thorndike. Konec jistého světa: Život a věda Maxe Borna . - Základní knihy, 2005. - 400 s. — ISBN 0738206938 .
Jammere, Maxi . Evoluce konceptů kvantové mechaniky / Per. z angličtiny. / Ed. L. I. Ponomareva. - M. : Nauka, 1985. - 384 s.
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut. Formulace maticové mechaniky a její modifikace, 1925-1926 . - Springer, 1982. - Sv. 3. - 342 s. — (Historický vývoj kvantové teorie). — ISBN 9780824796815 .
Sources of Quantum Mechanics (anglicky) / Editor BL van der Waerden. - Dover Publications, 2007. - Vol. 5. - 430 str. - (Klasika vědy). — ISBN 9780486458922 .
Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). "Pochopení Heisenbergova "magického" článku z července 1925: Nový pohled na detaily výpočtu." American Journal of Physics . Americká asociace učitelů fyziky (AAPT). 72 (11): 1370-1379. arXiv : quant-ph/0404009 . DOI : 10.1119/1.1775243 . ISSN 0002-9505 .
Jordan, Thomas F. Kvantová mechanika v jednoduché maticové formě. — Wiley-Interscience. - Wiley-Interscience, 1986. - 260 s. — ISBN 9780471817512 .
Merzbacher, E. (1968). Maticové metody v kvantové mechanice. Dopoledne. J Phys . 36 : 814-821. DOI : 10.1119/1.1975154 .

Odkazy

Přehled maticové mechaniky
Maticové metody v kvantové mechanice
Heisenbergova kvantová mechanika (počátky teorie a její historický vývoj 1925-27)
Werner Heisenberg 1970 CBC rozhlasový rozhovor
Werner Karl Heisenberg Spoluzakladatel kvantové mechaniky
O maticové mechanice na MathPages