Heisenbergova reprezentace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. srpna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Heisenbergova reprezentace je jedním ze způsobů, jak popsat kvantově mechanické jevy , ve kterých je vývoj systému popsán Heisenbergovou rovnicí a je určen pouze vývojem operátorů v čase a stavový vektor nezávisí na čase.

Popis Heisenbergovy reprezentace

Podle postulátů kvantové mechaniky je každá fyzikální veličina spojena s lineárním samoadjungovaným operátorem a čistý stav je popsán vektorem z Hilbertova prostoru . V Heisenbergově reprezentaci stavový vektor nezávisí na čase a vývoj systému je popsán rovnicí: ${\klobouček A}$ $|\psi\rangle$

${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\ klobouk {A}}_{H}(t)]+{\frac {\částečný {\klobouček {A}}_{S}}{\částečný t)),$

kde parciální derivace znamená explicitní závislost fyzikální veličiny na čase.

Vztah mezi operátory v Schrödingerově a Heisenbergově reprezentaci

Nechť být operátorem v reprezentaci Schrödinger a být operátorem v reprezentaci Heisenberg. Pak je přechod z jedné reprezentace do druhé určen unitární transformací: ${\hat A}(t)$ ${\hat A}_{H}(t)$

${\hat A}_{H}(t)={\hat S}(t_{0},t){\hat A}(t){\hat S}(t,t_{0}),$

kde je operátor evoluce: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\vpravo)\vpravo\},t>t_{0}

{\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\vpravo)\vpravo\},t<t_{0}

kde jsou operátoři pro objednání času a proti objednání. Zejména, pokud operátor Hamilton nezávisí na čase, pak $T,\overline {T}$

{\hat S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat H}(t-t_{0})}\right),

a unitární transformace má tvar:

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Přechod od Schrödingerovy reprezentace k Heisenbergově reprezentaci

Stavový vektor v Schrödingerově reprezentaci splňuje Schrödingerovu rovnici:

,

kde je operátor Hamilton . ${\hat H} (t)$

Představujeme operátor evoluce , který přenáší stav systému z počátečního okamžiku na jakýkoli jiný: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad ( 2)

Dosazením vzorce (2) do Schrödingerovy rovnice získáme, že evoluční operátor splňuje rovnici:

i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t ,t_{0}),\qquad(3)

{\klobouček {S}}(t_{0},t_{0})={\klobouček {I)),

kde je operátor identity. Konkrétně, pokud hamiltonián nezávisí na čase, pak má evoluční operátor tvar: ${\co já}$

{\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Nyní zvažte střední hodnotu operátoru některé pozorovatelné: $\ klobouk A$

\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi ( t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi ( t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\klobouk {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .

Operátor v Heisenbergově reprezentaci je tedy definován vzorcem: $\ klobouk A$

{\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}} (t,t_{0}).\qquad(4)

Zejména pokud hamiltonián nezávisí na čase, pak

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Vzorec diferencujeme s ohledem na čas a použijeme rovnici , pak získáme pohybovou rovnici operátora v Heisenbergově zobrazení: $(4)$ $(3)$ ${\hat A}(t)$

{d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}} _{H}(t)]+{\částečný \přes \částečný t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)

kde parciální derivace označuje explicitní závislost operátoru na čase. ${\hat A}(t)$

Příklad. Kvantový harmonický oscilátor.

Hamiltonův operátor kvantového harmonického oscilátoru v reprezentaci operátorů stvoření a zániku má tvar:

{\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).

Protože operátory stvoření a zániku nezávisí na čase ve Schrödingerově reprezentaci, rovnici lze přepsat jako $(5)$

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dagger }{\hat a}_{H }+1/2,{\ha_{H}(t)],

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),

{\hat a}_{H}(t)={\hat a}e^{{-i\omega (t-t_{0))))),

{\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})} ,

kde byly použity (anti)komutační vztahy pro operátory anihilace a vytvoření $[{\hat {a)],{\hat {a))^{\dagger }]_{\mp }=1.$

Aplikace

Heisenbergova reprezentace se používá v relativistické teorii, stejně jako v problémech statistické fyziky.

Viz také

Literatura

Sekce 6. Zastoupení Schrödingera a Heisenberga // Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantová pole. — M.: Nauka, 1980. — S. 55-56.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). - 6. vydání, přepracované. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). — ISBN 5-9221-0530-2 . Oddíl 13. Heisenbergovo zastoupení operátorů.
Sekce 10. Heisenbergova reprezentace. Kapitola VIII // Mesiáš A. Kvantová mechanika. - M.: Nauka, 1978. - S. 306-307.
Oddíl 3.4. Heisenberg obrázek // Sudbury A. Kvantová mechanika a fyzika elementárních částic. — M.: Mir, 1989. — S. 154-155.
Serbo V. G., Khriplovich I. B. Kvantová mechanika: učebnice. - Novosibirsk: Nakladatelství Novosibirské státní univerzity, 2008. - 274 s. — ISBN 978-5-94356-642-4

Odkazy

Heisenberg reprezentace - článek encyklopedie fyziky
Heisenbergův snímek