Hodně úrovně

V matematice je množina úrovní reálné funkce f n reálných proměnných množinou tvaru

tedy množina, na které funkce nabývá dané konstantní hodnoty c .

Když je počet proměnných dvě, je obvykle sadou úrovní křivka nazývaná čára úrovně, izočára nebo vrstevnice. Hladinová křivka je tedy množinou všech reálných řešení rovnice ve dvou proměnných x 1 a x 2 . Když , množina úrovní se nazývá úrovňová plocha (nebo také izoplocha ) a v případě většího počtu proměnných n je množina úrovní hyperplocha. Hladina je tedy množina všech reálných kořenů rovnice ve třech proměnných a a úrovňová hyperplocha je množina všech reálných kořenů rovnice v n ( n > 3) proměnných.

Sada úrovní je speciálním případem vrstvy .

Alternativní názvy

V mnoha aplikacích se objevuje více úrovní, často pod různými názvy.

Například implicitní křivka je množina úrovní, která je uvažována odděleně od sousedních křivek, přičemž je zdůrazněno, že taková křivka je definována implicitní funkcí . Podobně se rovná plocha někdy nazývá implicitní plocha nebo izoplocha .

Někdy se také používá název isocontour [1] , který označuje vrstevnici stejné výšky. V různých oblastech dostávají izokontury specifická jména, často odrážející povahu hodnot uvažované funkce, jako je izobara , izoterma , izogon , izochrona , izokvanta a indiferenční křivka .

Příklady

Uvažujme dvourozměrnou euklidovskou vzdálenost

Sada úrovní této funkce se skládá z bodů umístěných ve vzdálenosti od počátku, sady známé jako kruh . Například protože Geometricky to znamená, že bod leží na kružnici o poloměru 5 se středem v počátku. Obecnější příklad, koule v metrickém prostoru s poloměrem a středem v může být definována jako množina úrovní .

Druhým příkladem je graf Himmelblauovy funkce zobrazený na obrázku vpravo. Každá zobrazená křivka je křivkou úrovně funkce a jsou od sebe logaritmicky odděleny - pokud křivka představuje úroveň , pak nejbližší „vnitřní“ křivka představuje úroveň a nejbližší „vnější“ křivka představuje úroveň .

Sady úrovní a přechody

Věta : Pokud je funkce f diferencovatelná , gradient f vbodě je buď nulový, nebo kolmý k množině úrovní f v bodě.

Abychom pochopili, co to znamená, představme si, že dva chodci jsou na stejném místě na úbočí hory. Jeden z nich je sebevědomý a rozhodne se jít směrem k nejprudšímu stoupání, druhý je opatrnější, nechystá se stoupat ani klesat, ale volí cestu se stejnou nadmořskou výškou. V naší analogii výše uvedená věta říká, že oba chodci se vydají ve směrech na sebe kolmých.

Důsledkem této věty (a jejího důkazu) je, že je-li f diferencovatelná, množina úrovní je hyperplocha a varieta mimo kritické body f . V kritickém bodě se může množina úrovní zredukovat na bod (například v lokálním extrému funkce f ), nebo se kritický bod může ukázat jako singularita , jako je samoprůsečík nebo hrot .

Podúrovňové a nadúrovňové sady

Spousta druhu

se nazývá podúrovňová množina funkce f . Striktní podúrovňová množina funkce f je definována jako

Podobně

se nazývá nadúrovňová množina funkce f [3] [4] . Obdobně je definována množina přísné nadúrovně funkce

Podúrovňové množiny jsou důležité v teorii minimalizace . Ohraničenost nějaké neprázdné podúrovňové množiny a nižší semi-spojitost znamenají, že funkce dosáhne svého minima podle Weierstrassovy věty . Konvexnost všech množin podúrovní charakterizuje kvazikonvexní funkce [5] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Viz například Metody vizuální reprezentace geopolí Archivováno 16. června 2017 na Wayback Machine
  2. ↑ Simionescu, 2011 .
  3. ↑ Voitsekhovskii, 2001 .
  4. ↑ Weisstein, Eric W. Level Set  na webu Wolfram MathWorld .
  5. ↑ Kiwiel, 2001 , str. 1–25.

Literatura