Kritický bod (matematika)

Kritickým bodem diferencovatelné funkce je bod, ve kterém její diferenciál zaniká. Tato podmínka je ekvivalentní tomu, že v daném bodě zaniknou všechny parciální derivace 1. řádu, geometricky to znamená, že tečná nadrovina ke grafu funkce je vodorovná. V nejjednodušším případě n = 1 to znamená, že derivace v tomto bodě je rovna nule. Tato podmínka je nezbytná (ale ne dostatečná), aby vnitřní bod oblasti byl bodem lokálního minima nebo maxima diferencovatelné funkce [1] . $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $F'$

Pojem kritického bodu lze zobecnit na případ diferencovatelných zobrazení a na případ diferencovatelných zobrazení libovolných variet . V tomto případě je definice kritického bodu taková, že hodnost jakobiánské matice zobrazení v něm je menší než maximální možná hodnota rovna . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $f:N^{n}\to M^{m}$ $F$ $\min\{n,m\}$

Kritické body funkcí a zobrazení hrají důležitou roli v oblastech matematiky, jako jsou diferenciální rovnice , variační počet , teorie stability , stejně jako v mechanice a fyzice. Studium kritických bodů hladkého zobrazení je jednou z hlavních otázek v teorii katastrof . Pojem kritického bodu je také zobecněn na případ funkcionálů definovaných na nekonečněrozměrných funkčních prostorech. Nalezení kritických bodů takových funkcionalít je důležitou součástí variačního počtu . Kritické body funkcionálů (které jsou zase funkcemi) se nazývají extremály .

Formální definice

Kritický (nebo singulární nebo stacionární ) bod spojitě diferencovatelného zobrazení je bod, ve kterém je diferenciál tohoto zobrazení degenerovanou lineární transformací odpovídajících tečných prostorů a , to znamená, že rozměr obrazu transformace je menší [ 2] . V souřadnicovém zápisu to znamená, že jakobián - determinant jakobiánské matice zobrazení , složený ze všech parciálních derivací - mizí v bodě [ 2] . Prostory v této definici mohou být také nahrazeny manifoldy stejných rozměrů . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $f_{*}={\frac {\částečné f}{\částečné x))$ $T_{x_{0}}\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle T_{f(x_{0})}\mathbb {R} ^{m))$ $f_{*}(x_{0})$ $\min\{n,m\}$ $n=m$ $F$ ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ $x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $N^{n}$ $M^{m}$

Sardova věta

Hodnota zobrazení v kritickém bodě se nazývá jeho kritická hodnota . Podle Sardova teorému [3] má množina kritických hodnot každého dostatečně hladkého mapování nulovou Lebesgueovu míru (ačkoli kritických bodů může být tolik, kolik chcete, například pro identicky konstantní mapování je kritický jakýkoli bod ). $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$

Konstantní mapování pořadí

Pokud je v okolí bodu hodnost spojitě diferencovatelného zobrazení rovna stejnému číslu , pak v okolí tohoto bodu jsou lokální souřadnice se středem v , a v okolí jeho obrazu -- bodu -- jsou místní souřadnice se středem v , takže v nich je zobrazení dáno vztahy [4] [5] : $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $r$ $x_{0}$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{0}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $(y_{1},\ldots ,y_{m})$ $y_0$ $F$

$y_{1}=x_{1},\ \ldots ,\ y_{r}=x_{r},\ y_{{r+1}}=0,\ \ldots ,\ y_{m}=0.$

Konkrétně, if , pak existují lokální souřadnice se středem v a lokální souřadnice se středem v , takže mapování je v nich shodné. $r=n=m$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{0}$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y_0$ $F$

Případ m = 1

V případě tato definice znamená, že gradient v daném bodě zmizí. $m=1$ $\nabla f=(f'_{{x_{1}}},\ldots ,f'_{{x_{n}}})$

Předpokládejme, že funkce má třídu hladkosti alespoň . Kritický bod funkce f se nazývá nedegenerovaný , pokud je v něm Hessián nenulový. V okolí nedegenerovaného kritického bodu jsou souřadnice, ve kterých má funkce f kvadratickou normální formu ( Morseovo lemma ) [6] . $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{3}$ ${\Bigl |}{\frac {\částečný ^{2}f}{\částečný x^{2))}{\Bigr |}$

Přirozeným zobecněním Morseova lemmatu pro degenerované kritické body je Toujronova věta: v okolí degenerovaného kritického bodu funkce f , která je diferencovatelná nekonečněkrát ( ) konečné násobnosti , existuje souřadnicový systém, ve kterém a hladká funkce má tvar stupňového polynomu ( můžeme vzít Taylorův polynom funkce v bodě v původních souřadnicích) [7] [8] . ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu +1}} (x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu +1}} (x)$ $f(x)$ $0$

Pro , otázka na maximum a minimum funkce dává smysl. Podle známého tvrzení matematické analýzy může spojitě diferencovatelná funkce definovaná v celém prostoru nebo v jeho otevřené podmnožině dosáhnout lokálního maxima (minima) pouze v kritických bodech, a pokud je bod nedegenerovaný, pak matice v něm musí být negativně (pozitivně) určitý . To je také postačující podmínkou pro lokální maximum (resp. minimum) [1] . $m=1$ $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}{\Bigl )}={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f} {\částečné x_{i}\částečné x_{j))}{\Bigr )},$ $i,j=1,\ldots ,n,$

Případ n = m = 2

V případě n=m=2 máme zobrazení f roviny na rovinu (nebo 2-variet na další 2-variet). Předpokládejme, že zobrazení f je diferencovatelné nekonečněkrát ( ). V tomto případě jsou typické kritické body f ty, kde je determinant Jacobiho matice nula, ale její hodnost je 1, a proto má diferenciál f v takových bodech jednorozměrné jádro . Druhou podmínkou typičnosti je, že v okolí uvažovaného bodu na rovině předobrazu tvoří množina kritických bodů pravidelnou křivku S a téměř ve všech bodech křivky S se jádro nedotýká S a body, kde tomu tak není, jsou izolované a v nich má tečnost první řád. Kritické body prvního typu se nazývají ohybové body a druhého typu se nazývají vrcholové body . Záhyby a záhyby jsou jedinými typy singularit zobrazení z roviny do roviny, které jsou stabilní s ohledem na malé poruchy: při malé perturbaci se body záhybů a záhybů jen nepatrně pohybují spolu s deformací křivky S , ale pohybují se nezmizet, nedegenerovat a nehroutit se do jiných singularit. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $\ker \,f_{*}$ $\ker \,f_{*}$

Whitneyho teorém. Jestliže je bod ohybu nebo bod vrcholu, pak jeho okolí mají lokální souřadnice se středem v , a v okolí jeho obrázku jsou lokální souřadnice se středem v , takže mapování v nich je dáno vztahy $x_{0}$ $(x_{1},x_{2})$ $x_{0}$ $y_0$ $(y_{1},y_{2})$ $y_0$ $F$

$y_{1}=x_{1}^{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (složit),

$y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2},\ \ y_{2}=x_{2}\ \ \ \$ (shromáždění).

Tuto větu dokázal Hassler Whitney v roce 1955 [9] a stal se jedním z prvních výsledků teorie katastrof [10] . Moderní verze důkazu této věty, založená na aplikaci pozdějších výsledků v teorii singularit diferencovatelných zobrazení, je uvedena např. v [11] .

Whitneyho teorém ukazuje, že skládání a sbírání jsou realizovány jako rysy promítání hladkého povrchu, daného v prostoru rovnicí , na rovinu (horizontální rovina na obrázku) podél osy (svislá osa na obrázku). V normálních souřadnicích z Whitneyho věty funkce pro fold a pro fold. Množina kritických bodů (křivka S na ploše F = 0) je zobrazena červeně a její obraz v rovině obrazu je zobrazen purpurově. V případě montáže má obrázek křivky S prvek zvaný cusp (nebo cusp). $(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $F(x_{1},x_{2},y_{1})=0$ $(x_{2},y_{1})$ $x_{1}$ $F=x_{1}^{2}-y_{1}$ ${\displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1))$

Viz také

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, — Libovolné vydání.
Zorich V. A. Matematická analýza, - Libovolné vydání.
Brecker T., Lander L. Diferencovatelné zárodky a katastrofy, - Libovolné vydání.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Hladké funkce, formální řady a Whitneyho věty . Rohož. vyd., 2016, č. 3(79), 49–65.
N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Hladké funkce, formální řady a Whitneyho věty (konečné) . Rohož. příst., 2017, č. 3(83), 13.–27.

Poznámky

↑ 1 2 Zorich V. A. Matematická analýza, svazek 1 - Libovolné vydání, kap. VIII.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematická analýza, svazek 1 - Libovolné vydání, kap. VIII, odst. čtyři.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, odstavec 2.
↑ Zorich V. A. Matematická analýza, svazek 1 - Libovolné vydání, kap. VIII, odst. 6 (řadová věta).
↑ Brecker T., Lander L. Diferencovatelné zárodky a katastrofy, - Libovolné vydání.
↑ Zorich V. A. Matematická analýza, svazek 1 - Libovolné vydání, kap. VIII, odst. 6.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení.
↑ A. M. Samoilenko, O ekvivalenci hladké funkce k Taylorovu polynomu v okolí kritického bodu konečného typu, Funkts. analýza a její aplikace, 2:4 (1968), str. 63-69.
↑ Whitney H. On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces. I. Mapování roviny do roviny. Annals of Mathematics, Second Series, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, odstavec 1.
↑ N. G. Pavlova, A. O. Remizov . Hladké funkce, formální řady a Whitneyho věty (konečné) . Matematická výchova , 2017, č. 3(83), 13–27.