Povrch

Povrch v geometrii a topologii je dvourozměrná topologická rozmanitost . Nejznámějšími příklady povrchů jsou hranice geometrických těles v obvyklém trojrozměrném euklidovském prostoru. Na druhé straně existují povrchy (jako je Kleinova láhev ), které nelze vložit do trojrozměrného euklidovského prostoru, aniž by zahrnovaly singularitu nebo sebeprotínání.

„Dvourozměrnost“ povrchu implikuje možnost implementovat na něj metodu souřadnic , i když ne nutně pro všechny body. Povrch Země je tedy (ideálně) dvourozměrná koule , jejíž zeměpisná šířka a délka každého bodu jsou jeho souřadnicemi (s výjimkou pólů a 180. poledníku ).

Pojem povrchu se používá ve fyzice , strojírenství , počítačové grafice a dalších oborech při studiu fyzických objektů. Například analýza aerodynamických vlastností letadla je založena na proudění vzduchu kolem jeho povrchu.

Metody hledání

Povrch je definován jako množina bodů, jejichž souřadnice splňují určitý typ rovnice:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Pokud je funkce v nějakém bodě spojitá a má v sobě spojité parciální derivace, z nichž alespoň jedna nezaniká, pak v okolí tohoto bodu bude plocha daná rovnicí (1) regulární plochou . $F(x,\,y,\,z)$

Kromě výše uvedeného implicitního způsobu specifikace může být plocha definována explicitně , pokud jedna z proměnných, například z, může být vyjádřena pomocí ostatních:

z=f(x,y)\qquad (1')

Nechybí ani parametrický způsob nastavení. V tomto případě je povrch určen soustavou rovnic:

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\vpravo.\qquad (1'')

Koncept jednoduchého povrchu

Intuitivně si jednoduchý povrch lze představit jako kus roviny vystavený neustálým deformacím ( napětí, stlačení a ohyby ).

Přesněji řečeno, jednoduchá plocha je obrazem homeomorfního zobrazení (to znamená zobrazení jedna ku jedné a vzájemně spojité) vnitřku jednotkového čtverce. Této definici lze dát analytický výraz.

Nechť je dán čtverec v rovině s pravoúhlými souřadnicemi u a v , jejichž souřadnice vnitřních bodů splňují nerovnosti 0 < u < 1, 0 < v < 1. Homeomorfní obraz čtverce v prostoru s pravoúhlými souřadnicemi x , y, z je dáno pomocí vzorců x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( parametrická specifikace povrchu ). Kromě toho se vyžaduje, aby funkce x(u, v), y(u, v) a z(u, v) byly spojité a aby různé body (u, v) a (u', v') měly různé odpovídající body (x, y, z) a (x', y', z').

Příkladem jednoduché plochy je polokoule. Celá koule není jednoduchý povrch . To vyžaduje další zobecnění pojmu povrch.

Podmnožina prostoru, jejíž každý bod má okolí, které je jednoduchým povrchem , se nazývá pravidelný povrch .

Povrch v diferenciální geometrii

V diferenciální geometrii jsou studované plochy obvykle podrobeny podmínkám souvisejícím s možností aplikace metod diferenciálního počtu. Zpravidla se jedná o podmínky hladkosti povrchu, to znamená existenci v každém bodě povrchu určité tečné roviny, zakřivení atd. Tyto požadavky se scvrkají na skutečnost, že funkce, které definují povrch se předpokládají jednou, dvakrát, třikrát a v některých otázkách - neomezený počet mnohokrát diferencovatelných nebo dokonce analytických funkcí . V tomto případě je navíc uložena podmínka pravidelnosti.

Případ implicitního přiřazení . Plocha daná rovnicí je hladká pravidelná plocha , jestliže je funkce spojitě derivovatelná ve svém oboru definice a její parciální derivace současně nezanikají (podmínka správnosti) na celé množině : $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ $F$ $\Omega$ $\Omega$

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\částečné z}\vpravo)^2>0

Případ parametrické úlohy . Povrch definujeme vektorovou rovnicí nebo, což je stejné, třemi rovnicemi v souřadnicích: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array }\vpravo.\quad (u,\,v)\in\Omega

Tento systém rovnic definuje hladký pravidelný povrch , pokud jsou splněny následující podmínky:

systém vytvoří vzájemnou shodu mezi obrázkem a prototypem ; $\Omega$
funkce jsou plynule diferencovatelné v ; $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ $\Omega$
podmínka nedegenerace je splněna:

\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0

Geometricky poslední podmínka znamená, že vektory nejsou nikde rovnoběžné. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Parametry u, v lze považovat za vnitřní souřadnice bodů povrchu. Zafixováním jedné ze souřadnic získáme dvě rodiny souřadnicových křivek pokrývajících povrch souřadnicovou sítí.

Explicitní případ . Povrch může být definován jako graf funkce ; je pak hladký pravidelný povrch , pokud je funkce diferencovatelná. Tuto možnost lze považovat za speciální případ parametrické úlohy: . $S$ $z=f(x,y)$ $S$ $F$ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$

Tečná rovina

Tečná rovina v bodě na hladkém povrchu je rovina, která má v tomto bodě maximální pořadí kontaktu s povrchem. Ekvivalentní definice: Tečná rovina je rovina obsahující tečny všech hladkých křivek procházejících tímto bodem.

Nechť je zadána hladká křivka na parametricky definované ploše ve tvaru: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

u = u(t);\ v = v(t)

Směr tečny k takové křivce dává vektor: $\mathbf{v}$

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{r}}{\částečné v} \frac{dv}{dt}

To ukazuje, že všechny tečny všech křivek v daném bodě leží ve stejné rovině obsahující vektory , o kterých jsme výše předpokládali, že jsou nezávislé. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Rovnice tečné roviny v bodě má tvar: $\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}\right ) = 0\quad

( smíšený součin vektorů).

V souřadnicích jsou rovnice tečné roviny pro různé způsoby specifikace povrchu uvedeny v tabulce:

	tečnou rovinu k povrchu v bodě $(x_{0},y_{0},z_{0})$
implicitní zadání	$\frac{\částečné F}{\částečné x}(x-x_0)+\frac{\částečné F}{\částečné y}(y-y_0)+\frac{\částečné F}{\částečné z}(z -z_0)=0$
explicitní zadání	$\frac{\částečné f}{\částečné x}(x-x_0)+\frac{\částečné f}{\částečné y}(y-y_0)=(z-z_0)$
parametrická úloha	$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0$

Všechny derivace jsou brány v bodě . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Metriky a vnitřní geometrie

Zvažte opět hladkou křivku:

u = u(t);\ v = v(t)

Prvek jeho délky je určen z poměru:

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u))du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

kde . $E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r' _proti}$

Tato kvadratická forma se nazývá první kvadratická forma a je dvourozměrnou verzí povrchové metriky . U běžného povrchu je diskriminační ve všech bodech. Koeficient v bodě na povrchu právě tehdy, když jsou křivky souřadnic v tomto bodě ortogonální. Konkrétně se metrika získá na rovině s kartézskými souřadnicemi ( Pythagorova věta ). $EG-F^2>0$ $F=0$ $u,\v$ $ds^2 = du^2 + dv^2$

Metrika jednoznačně neurčuje tvar povrchu. Například metriky helikoidu a katenoidu , které jsou podle toho parametrizovány, jsou stejné, to znamená, že mezi jejich oblastmi existuje korespondence, která zachovává všechny délky ( izometrie ). Vlastnosti, které jsou zachovány při izometrických transformacích, se nazývají vnitřní geometrie povrchu. Vnitřní geometrie nezávisí na poloze plochy v prostoru a nemění se při jejím ohýbání bez tahu a stlačení (např. při ohnutí válce do kužele ) [1] .

Metrické koeficienty určují nejen délky všech křivek, ale obecně výsledky všech měření uvnitř povrchu (úhly, plochy, zakřivení atd.). Proto vše, co závisí pouze na metrice, se vztahuje k vnitřní geometrii. $E,\F,\G$

Normální a normální řez

Jednou z hlavních charakteristik povrchu je jeho normála - jednotkový vektor kolmý k tečné rovině v daném bodě:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}

Znaménko normály závisí na volbě souřadnic.

Řez plochy rovinou obsahující normálu plochy v daném bodě tvoří určitou křivku, která se nazývá normálový řez plochy. Hlavní normála pro normální řez se shoduje s normálou k povrchu (až na znaménko).

Pokud křivka na ploše není normální řez, pak její hlavní normála svírá úhel s normálou plochy . Potom je zakřivení křivky vztaženo ke zakřivení normálního řezu (se stejnou tečnou) podle Meunierova vzorce : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Souřadnice normálového vektoru pro různé způsoby specifikace povrchu jsou uvedeny v tabulce:

	Normální souřadnice v bodě povrchu
implicitní zadání	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
explicitní zadání	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\částečné f}{\částečné x}\vpravo)^2+\vlevo( \frac{\částečné f}{\částečné y}\vpravo)^2+1))$
parametrická úloha	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ vpravo)^2}}$

Zde . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Všechny derivace jsou brány v bodě . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Zakřivení

Pro různé směry v daném bodě na povrchu se získá různé zakřivení normálního řezu, které se nazývá normální zakřivení ; je mu přiřazeno znaménko plus, pokud hlavní normála křivky jde stejným směrem jako normála k povrchu, nebo znaménko mínus, pokud jsou směry normál opačné.

Obecně řečeno, v každém bodě na povrchu jsou dva kolmé směry a , ve kterých normální zakřivení nabývá minimální a maximální hodnoty; tyto směry se nazývají hlavní . Výjimkou je případ, kdy je normálové zakřivení stejné ve všech směrech (například v blízkosti koule nebo na konci rotačního elipsoidu ), pak jsou všechny směry v bodě hlavní. $e_{1}$ $e_{2}$

Normální zakřivení v hlavních směrech se nazývají hlavní zakřivení ; označme je a . Velikost: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

nazývané Gaussovo zakřivení , celkové zakřivení nebo jednoduše zakřivení povrchu. Existuje také termín skalární zakřivení , který implikuje výsledek konvoluce tenzoru zakřivení ; v tomto případě je skalár zakřivení dvakrát větší než Gaussovo zakřivení.

Gaussovu křivost lze vypočítat z hlediska metriky, a proto je objektem vnitřní geometrie povrchů (všimněte si, že hlavní křivosti do vnitřní geometrie nepatří). Podle znaménka křivosti můžete klasifikovat body povrchu (viz obrázek). Zakřivení roviny je nulové. Zakřivení koule o poloměru R je všude rovno . Existuje také povrch konstantního negativního zakřivení - pseudosféra . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Geodetické linie, geodetické zakřivení

Křivka na povrchu se nazývá geodetická čára nebo jednoduše geodetická , pokud se hlavní normála ke křivce ve všech jejích bodech shoduje s normálou k povrchu. Příklad: na rovině budou geodetikou přímky a úsečky, na kouli velké kružnice a jejich úsečky.

Ekvivalentní definice: pro geodetickou přímku je průmět její hlavní normály na tečnou rovinu nulovým vektorem. Pokud křivka není geodetická, pak je zadaná projekce nenulová; její délka se nazývá geodetické zakřivení křivky na ploše. Existuje poměr: $kg}$

k^2 = k_g^2 + k_n^2

kde je zakřivení dané křivky, je zakřivení normálního řezu plochy se stejnou tečnou. $k$ $k_n$

Geodetické linie odkazují na vnitřní geometrii. Uvádíme jejich hlavní vlastnosti.

Jedna jediná geodetická sonda prochází daným bodem na povrchu v daném směru.
Na dostatečně malé ploše povrchu lze geodetkou spojit vždy dva body a navíc pouze jeden. Vysvětlení: na kouli jsou opačné póly spojeny nekonečným počtem poledníků a dva blízké body mohou být spojeny nejen segmentem velkého kruhu, ale také jeho přidáním do úplného kruhu, takže jedinečnost je pozorována pouze v malém.
Geodetická je nejkratší. Přesněji: na malém kousku povrchu leží nejkratší cesta mezi danými body podél geodézy.

Oblast

Dalším důležitým atributem povrchu je jeho plocha , která se vypočítá podle vzorce:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Zde . $\mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\částečné x}{\částečné u},\,\frac{\částečné y}{\částečné u},\,\frac{\částečné z}{ \partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}, \,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}$

V souřadnicích dostaneme:

	explicitní zadání	parametrická úloha
plošný výraz	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\částečné f}{\částečné x}\vpravo)^2+\left( \frac{\částečné f}{\částečné y}\vpravo)^2+1 }\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D( u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\, \mathrm{d}\,v$

Topologie povrchu

Orientace

Další důležitou vlastností povrchu je jeho orientace .

Plocha se nazývá oboustranná , pokud má po celé své délce spojitý normálový vektor. Jinak se povrch nazývá jednostranný .

Orientovaná plocha je oboustranná plocha se zvoleným směrem normály.

Příkladem jednostranných a tudíž neorientovatelných ploch je Kleinova láhev nebo Möbiův proužek .

Typy povrchů

Uzavřená plocha je kompaktní plocha bez hranic.
Otevřená plocha je kompletní nekompaktní plocha bez ohraničení; v případě zapuštěné plochy se navíc předpokládá, že tvoří uzavřený soubor v okolním prostoru.
orientovatelné a neorientovatelné povrchy

Příklady

Revoluční povrchy

Rotační plochu lze získat otáčením křivky v rovině xz kolem osy z za předpokladu, že křivka neprotíná osu z . Předpokládejme, že křivka je dána výrazem

x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)

s t ležícím v ( a , b ) a parametrizované délkou oblouku, takže

{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1.

Potom je rotační plocha množinou bodů

M=\{(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [ 0,2\pi )\}.

Gaussova křivost a průměrná křivost jsou dány výrazy [2]

K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\tečka {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\tečka {\varphi }}) \over 2\varphi }.

Geodetiky na rotační ploše jsou definovány vztahem Clairaut .

Povrch druhého řádu

Uvažujme povrch druhého řádu daný výrazem [3]

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

Tato plocha umožňuje parametrizaci

x={\sqrt {a(au)(av) \over (ab)(ac)))),\,\,y={\sqrt {b(bu)(bv) \over (ba) ( bc))),\,\,z={\sqrt {c(cu)(cv) \over (cb)(ca)))).

Gaussova křivost a střední křivost jsou dány

K={abc \over u^{2}v^{2)),\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^ {3}}}.

Vodorovné plochy

Pravidelná plocha je plocha, kterou lze získat posunutím přímky v [4] [5] . Výběrem směrové přímky na povrchu, tj. hladké jednotkové křivky rychlosti c ( t ) kolmé k přímkám, a následným výběrem jednotkových vektorů podél křivky ve směru přímek pro vektor rychlosti a u , $\mathbb{E}^3$ $u(t)$ ${\displaystyle v=c_{t))$

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

Povrch je tvořen body

c(t)+s\cdot u(t)

při změně s a t .

Pak pokud

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}} ,\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

Gaussovské a střední zakřivení je dáno výrazy

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2)),\,\,K_{m}=- {r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s- \alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

Gaussova křivost regulované plochy zaniká právě tehdy, když a v jsou úměrné [6] . Tato podmínka je ekvivalentní skutečnosti, že povrch je obálkou rovin podél křivky obsahující tečný vektor v a ortogonální vektor u , to znamená, že povrch se podél křivky rozvíjí [7] . Obecněji řečeno, povrch v má nulové Gaussovo zakřivení v blízkosti bodu právě tehdy, když se vyvíjí v blízkosti tohoto bodu [8] (Ekvivalentní podmínka je uvedena níže z hlediska metriky.) $u_{t}$ $\mathbb{E}^3$

Minimální plochy

V roce 1760 Lagrange rozšířil Eulerovy výsledky variačního počtu s integrály jedné proměnné na integrály dvou proměnných [9] [10] . Zvažoval následující problém:

Takový povrch se nazývá minimální povrch .

V roce 1776 Jean Baptiste Meunier ukázal, že diferenciální rovnice odvozená Lagrangeem je ekvivalentní střednímu zakřivení mizejícího povrchu:

Minimální povrchy mají v reálném životě jednoduchou interpretaci – mají podobu mýdlového filmu, pokud je drátěný rám ponořen do mýdlové vody a opatrně odstraněn. Otázka, zda existuje minimální povrch s danou hranicí, se nazývá problém plošiny , podle belgického fyzika Josepha Plata , který experimentoval s mýdlovými filmy v polovině devatenáctého století. V roce 1930 dali Jesse Douglas a Tibor Rado na Plateauův problém kladnou odpověď (Douglas za tuto práci obdržel jednu z prvních Fieldsových cen v roce 1936) [11] .

Je známo mnoho příkladů minimálních povrchů, jako je katenoid , helicoid , Scherkův povrch a Enneperův povrch . V této oblasti byl prováděn intenzivní výzkum, jehož výsledky jsou shrnuty v Ossermanově knize [12] . Ossermanův výsledek zejména ukazuje, že pokud minimální povrch není rovinný, pak je jeho obraz pod Gaussovou mapou hustý v . $S^{2}$

Plochy konstantní Gaussovy křivosti

Pokud má plocha konstantní Gaussovu křivost, nazývá se plocha konstantní křivosti [13] [14] [15] .

Jednotková koule v má konstantní Gaussovo zakřivení +1. $\mathbb{E}^3$
Euklidovská rovina a válec mají konstantní Gaussovo zakřivení 0.
Rotační plocha c má konstantní Gaussovu křivost −1. Zvláštní případ získáme tím, že vezmeme , a [14] [16] [17] . Posledním případem je klasická pseudosféra tvořená rotací tractrixu kolem středové osy. V roce 1868 Eugenio Beltrami ukázal, že geometrie pseudo-vodní koule přímo souvisí s geometrií hyperbolické roviny , kterou nezávisle objevili Lobachevskij (1830) a Bolyai (1832). Již v roce 1840 získal Gaussův žák F. Minding trigonometrické vzorce pro pseudosféru, shodné s těmi pro hyperbolickou rovinu [18] . Tato plocha konstantního zakřivení je nyní lépe pochopena z hlediska Poincarého metriky na horní polorovině nebo jednotkové kružnici a může být popsána jinými modely, jako je Kleinův model nebo hyperboloidní model získaný uvažováním dvouvrstvého hyperboloidu v trojrozměrný Minkowského prostor , kde [19] . $\varphi _{tt}=\varphi$ $\varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t$ $C\mathrm {sh} \,t$ ${\displaystyle Ce^{t))$ $q(x,y,z)=-1$ $q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

Každá z těchto ploch konstantní křivosti má tranzitivní Lieovu grupu symetrií. Tato skupinově teoretická skutečnost má dalekosáhlé důsledky, které jsou zvláště pozoruhodné s ohledem na ústřední roli, kterou tyto speciální povrchy hrají v geometrii povrchů podle Poincarého uniformizační věty (viz níže).

Další příklady povrchů s Gaussovým zakřivením 0 zahrnují kužely , rozvinutelné tečné povrchy obecněji jakýkoli rozvinutelný povrch .

Generalizace

Pro vícerozměrné analogy teorie, viz:

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometrie. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - M .: Drop. — 570 str.
Pogorelov AI Diferenciální geometrie . — 6. vydání. — M .: Nauka, 1974.
Rashevsky PK Kurz diferenciální geometrie . — 3. vydání. — M. : GITTL, 1950.
Surface // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Poznámky

↑ Rashevsky P.K., 1950 , kapitola 7.
↑ do Carmo, 1976 , str. 161–162.
↑ Eisenhart, 2004 , str. 228–229.
↑ Eisenhart, 2004 , str. 241–250.
↑ do Carmo, 1976 , str. 188–197.
↑ do Carmo, 1976 , str. 194.
↑ Eisenhart, 2004 , str. 61–65.
↑ Eisenhart, 2004 .
↑ Eisenhart, 2004 , str. 250–269.
↑ do Carmo, 1976 , str. 197–213.
↑ Douglasovo řešení je popsáno v Courantově článku (( Courant 1950 )).
↑ Osserman, 2002 .
↑ Eisenhart, 2004 , str. 270–291.
↑ 1 2 O'Neill, 1997 , str. 249–251.
↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 .
↑ do Carmo, 1976 , str. 168–170.
↑ Gray, Abbena, Salamon, 2006 .
↑ Stillwell, 1996 , s. 1–5.
↑ Wilson, 2008 .

Odkazy

Formování povrchů pohybem křivek, video Archivováno 23. září 2016 na Wayback Machine