Pseudosféra

Pseudosféra (nebo Beltramiho povrch ) - povrch konstantního negativního zakřivení tvořený rotací tractrixu kolem jeho asymptoty . Název zdůrazňuje podobnosti a rozdíly s koulí , což je příklad povrchu se zakřivením, které je také konstantní, ale pozitivní.

Historie

Nejprve prozkoumal Minding v letech 1839-1840. Zejména ukázal, že koncepty skupiny pohybů a kongruentních obrazců mají smysl pouze na plochách s konstantní křivostí. Název „pseudosféra“ povrchu dal Beltrami . Upozornil také na skutečnost, že pseudosféra implementuje lokální model Lobačevského geometrie spolu s projektivním modelem a konformním euklidovským modelem .

Charakteristika

Pokud je traktrix specifikován v rovině Oxz parametrickými rovnicemi

x=a\sin u

y=0

z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right),\quad 0\leq u\leq {\frac {\pi }{ 2}}

pak budou parametrické rovnice pseudosféry

x=a\sin u\cos v

y=a\sin u\sin v

z=a\left(\ln \operatorname {tg} {\frac {u}{2}}+\cos u\right)

0\leq u\leq {\frac {\pi }{2)),\ 0\leq v\leq 2\pi

První kvadratický tvar :

ds^{2}=a^{2}\jméno operátora {ctg}^{2}u\,du^{2}+a^{2}\sin ^{2}u\,dv^{2}

Druhý kvadratický tvar :

\phi _{2}=a(-\jméno operátora {ctg}u\,du^{2}+\sin u\cos u\,dv^{2})

Gaussovo zakřivení pseudosféry je konstantní, záporné a rovné −1/ a² .

Plocha obou zdířek pseudosféry se shoduje s plochou koule ( ), objem je poloviční než objem koule ( ). $4\pi a^{2}$ ${\tfrac {2}{3}}\pi a^{3}$

Variace a zobecnění

Plocha Dini je podobným příkladem plochy s konstantním negativním zakřivením. Poskytuje izometrické ponoření oblasti Lobačevského roviny ohraničené horocyklem .

Zdroje

Pseudosféra. - Aplikovaná matematika
Pseudosphere // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Literatura

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie. - Nauka, M. , 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5 .
Aleksandrov PS Co je neeuklidovská geometrie. - URSS, M. , 2007. ISBN 978-5-484-00871-1 .
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurz diferenciální geometrie a topologie, - Factorial, M. , 2000.
Wolf J. Prostory konstantního zakřivení, Nauka, Moskva , 1982.