Geometrie Lobačevského

Lobachevského geometrie (neboli hyperbolická geometrie ) je jednou z neeuklidovských geometrií , geometrická teorie založená na stejných základních axiómech jako běžná euklidovská geometrie , s výjimkou axiomu rovnoběžných čar , který je nahrazen jeho negací .

Euklidovský axiom o paralelách (přesněji jeden z výroků, který je mu ekvivalentní, za přítomnosti jiných axiomů) lze formulovat takto:

V rovině procházející bodem , který neleží na dané přímce , lze nakreslit právě jednu přímku rovnoběžnou s danou přímkou.

V Lobačevského geometrii je místo toho přijat následující axiom:

Bodem neležícím na dané přímce procházejí alespoň dvě přímky, které leží s danou přímkou ve stejné rovině a neprotínají ji.

Lobačevského axiom je přesnou negací Euklidova axiomu (pokud jsou splněny všechny ostatní axiomy), protože případ, kdy žádná přímka neprochází bodem, který neleží na dané přímce, leží s danou přímkou ve stejné rovině neprotínají ji, je vyloučena na základě jiných axiomů (axiomů absolutní geometrie ). Takže například sférická geometrie a Riemannova geometrie , ve kterých se protínají libovolné dvě přímky, a tudíž neplatí ani Euklidův paralelní axiom, ani Lobachevského axiom, nejsou s absolutní geometrií kompatibilní.

Lobachevského geometrie má rozsáhlé aplikace v matematice i fyzice. Jeho historický a filozofický význam spočívá v tom, že Lobačevskij svou konstrukcí ukázal možnost geometrie odlišné od euklidovské , což znamenalo novou éru ve vývoji geometrie , matematiky a vědy obecně.

Historie

Pokusy dokázat pátý postulát

Výchozím bodem Lobachevského geometrie byl Euklidův pátý postulát, axiom ekvivalentní paralelnímu axiomu . Bylo to na seznamu postulátů v Euklidových prvcích . Relativní složitost a neintuitivnost jeho formulace vyvolala pocit jeho druhotnosti a dala vzniknout pokusům odvodit jej jako větu ze zbytku Euklidových postulátů.

Mezi mnoha, kdo se pokusili dokázat pátý postulát, byli zejména následující významní vědci.

Starověcí řečtí matematici Ptolemaios ( II. století ) a Proklos ( V století ) (založeno na předpokladu konečné vzdálenosti mezi dvěma rovnoběžnými).
Ibn al-Haytham z Iráku (konec 10. - počátek 11. století) (založeno na předpokladu, že konec pohybující se kolmice k přímce popisuje přímku).
Íránští matematici Omar Khayyam (2. polovina 11. - začátek 12. století) a Nasir ad-Din at-Tusi ( XIII. století ) (založeno na předpokladu, že dvě sbíhající se linie se nemohou stát divergentními, pokud pokračují bez křížení).
První nám známý pokus v Evropě dokázat axiom Euklidova paralelismu navrhl Gersonides (aka Levi ben Gershom, XIV. století ), který žil v Provence (Francie ). Jeho důkaz byl založen na tvrzení o existenci obdélníku [1] .
Německý matematik Clavius (1574) [2] .
italští matematici
- Cataldi (poprvé v roce 1603 vydal dílo zcela věnované otázce paralel).
- Borelli (1658) [3] .
Anglický matematik Wallis (1663, publikováno v roce 1693) (založeno na předpokladu, že pro každý údaj existuje podobný, ale ne stejný údaj).
Francouzský matematik Legendre (1800) (vycházel z předpokladu, že každým bodem uvnitř ostrého úhlu lze nakreslit čáru protínající obě strany úhlu; měl i jiné pokusy o důkaz).

V těchto pokusech dokázat pátý postulát zavedli matematici (explicitně nebo implicitně) nějaké nové tvrzení, které se jim zdálo zjevnější.

Byly učiněny pokusy použít důkaz kontradikcí:

italský matematik Saccheri ( 1733 ) (zformuloval tvrzení odporující postulátu, vyvodil z toho řadu důsledků a některé z nich mylně uznal za protichůdné a postulát považoval za prokázaný),
Německý matematik Lambert (cca 1766 , publikoval v 1786 ) ( po provádění výzkumu , on připustil, že on nemohl najít rozpory v systému, který on postavil).

Nakonec se začalo objevovat porozumění, že je možné sestavit teorii založenou na opačném postulátu:

Němečtí matematici Schweikart ( 1818 ) a Taurinus ( 1825 ).
Německý matematik Carl Friedrich Gauss

Vytvoření neeuklidovské geometrie

Lobačevskij ve své první tištěné práci o neeuklidovské geometrii O principech geometrie ( 1829 ) jasně uvedl, že pátý postulát nelze dokázat na základě jiných premis euklidovské geometrie a že předpoklad postulátu opačného k Euklidův postulát umožňuje konstruovat geometrii stejně smysluplnou a bez rozporů, stejně jako euklidovskou.

Současně a nezávisle k podobným závěrům dospěl Janos Bolyai a Carl Friedrich Gauss k takovým závěrům došel ještě dříve. Bolyaiova práce však nevzbudila pozornost a brzy toto téma opustil, zatímco Gauss se obecně zdržel publikování a jeho názory lze posoudit pouze z několika dopisů a deníkových záznamů [4] . Například v dopise astronomovi G. H. Schumacherovi z roku 1846 Gauss hovořil o Lobačevského díle takto:

Tato práce obsahuje základy geometrie, která by se musela uskutečnit, a navíc by tvořila přísně konzistentní celek, kdyby euklidovská geometrie nebyla pravdivá... Lobačevskij ji nazývá „imaginární geometrií“; Víte, že již 54 let (od roku 1792 ) sdílím stejné názory s některým jejich vývojem, o kterém se zde nechci zmiňovat; tak jsem v díle Lobačevského nenašel pro sebe vlastně nic nového. Ale ve vývoji tématu nešel autor cestou, kterou jsem šel já sám; je mistrovsky proveden Lobačevským v opravdu geometrickém duchu. Považuji za svou povinnost upozornit Vás na toto dílo, které Vám jistě udělá zcela výjimečnou radost. [5]

V důsledku toho se Lobačevskij choval jako první nejbystřejší a nejdůslednější propagandista nové geometrie. Lobačevského geometrie se sice vyvíjela jako spekulativní teorie a sám Lobačevskij ji nazval „imaginární geometrií“, nicméně to byl on, kdo ji poprvé otevřeně navrhl ne jako hru mysli, ale jako možnou a užitečnou teorii prostorových vztahů. Důkaz jeho konzistence byl však podán později, když byly naznačeny jeho interpretace (modely).

Výrok Lobačevského geometrie

Lobačevskij zemřel v roce 1856 . O několik let později vyšla Gaussova korespondence, včetně několika nadšených recenzí Lobachevského geometrie, což přitáhlo pozornost k Lobachevského práci. Objevují se jejich překlady do francouzštiny a italštiny, komentáře významných geometrů. Bolyaiovo dílo je také publikováno .

V roce 1868 Beltrami publikoval článek o interpretacích Lobachevského geometrie. Beltrami určil metriku Lobačevského roviny a dokázal, že má všude konstantní negativní zakřivení. [6] Takový povrch byl znám již tehdy – jedná se o pseudosféru Minding . Beltrami dospěl k závěru, že Lobačevského rovina je lokálně izometrická k části pseudosféry (viz níže). Ve stejném článku Beltrami také uvádí dva modely, nyní nazývané Klein model a Poincaré model .

V těchto dokumentech podal Beltrami jasný geometrický důkaz o konzistenci nové geometrie, přesněji řečeno, že geometrie Lobachevského je nekonzistentní právě tehdy, když je nekonzistentní geometrie Euklidova. Lobačevskij měl také takový důkaz, ale byl složitější, v jednom směru euklidovský rovinný model v Lobačevského geometrii byl postaven pomocí modelu jako v Beltrami, [7] šel analyticky opačným směrem.

Weierstrass věnuje speciální seminář Lobačevského geometrii na univerzitě v Berlíně ( 1870 ). Kazaňská fyzikální a matematická společnost organizuje vydání úplných děl Lobačevského a v roce 1893 se slaví sté výročí ruského matematika v mezinárodním měřítku.

Modely

Modely Lobačevského geometrie poskytly důkaz o její konzistenci, přesněji ukázaly, že Lobačevského geometrie je stejně konzistentní jako Euklidova geometrie.

Lobačevskij sám dal základy své analytické geometrii a tím vlastně nastínil takový model. Všiml si také, že horosféra v Lobačevském prostoru je izometrická k euklidovské rovině, čímž ve skutečnosti navrhuje inverzní model. Samotný pojem model byl však objasněn v práci Beltramiho a dalších.

Pseudosféra

Italský matematik Eugenio Beltrami si v roce 1868 všiml , že geometrie na kusu Lobačevského roviny je stejná jako geometrie na plochách s konstantním záporným zakřivením, jejichž nejjednodušším příkladem je pseudosféra . Jsou-li body a přímky na konečném kousku Lobačevského roviny spojeny s body a nejkratšími čarami ( geodeskami ) na pseudosféře a pohyb v Lobačevského rovině je spojen s pohybem postavy po pseudosféře s ohybem, tj. deformace, která zachovává délku, pak bude jakákoliv věta Lobačevského geometrie odpovídat skutečnosti, že na pseudosféře. Délky, úhly, plochy jsou přitom chápány ve smyslu jejich přirozeného měření na pseudosféře.

Zde je však uveden pouze lokální výklad geometrie, tedy na omezené ploše, nikoli na celé Lobačevského rovině. Diniho povrch dává podobný model - jde o izometrické ponoření oblasti Lobačevského roviny ohraničené horocyklem .

Projektivní model

Lobačevského model letadla, který poprvé navrhl Beltrami.

Rovina je vnitřkem kružnice, přímka je tětiva kružnice bez konců a bod je bod uvnitř kružnice. „Pohyb“ je jakákoliv přeměna kruhu v sebe, která převádí akordy na akordy. V souladu s tím se postavy uvnitř kruhu nazývají rovné, které se takovými transformacemi převádějí jedna do druhé. Pak se ukáže, že jakýkoli geometrický fakt popsaný v takovém jazyce představuje větu nebo axiom Lobačevského geometrie. Jinými slovy, jakékoli vyjádření Lobačevského geometrie v rovině není nic jiného než prohlášení euklidovské geometrie, odkazující na postavy uvnitř kruhu, pouze převyprávějící v naznačených pojmech. Euklidovský axiom o rovnoběžkách zde zjevně není splněn, protože bodem , který neleží na dané tětivě a (tedy „přímce“), prochází libovolný počet tětiv („přímek“), které se neprotínají. to (například , ). $P$ $b$ $b'$

V tomto modelu je vzdálenost mezi body a na tětivě určena pomocí dvojitého vztahu $A$ $B$ $NM$

\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\right)

Ve vnějším absolutním je realizována geometrie anti-de Sitterova prostoru .

Konformní euklidovský model, Poincarého model

Další model Lobačevského letadla navržený Beltramim.

Za vnitřek kružnice se považuje Lobačevského rovina, oblouky kružnic kolmé k obvodu dané kružnice a její průměry jsou považovány za přímky, pohyby jsou transformace získané kombinacemi inverzí vzhledem ke kružnicím, jejichž oblouky slouží jako rovné čáry.

Poincarého model je pozoruhodný tím, že v něm jsou úhly představovány obyčejnými úhly.

Model na hyperboloidu v Minkowského prostoru

V prostoru podpisu zvažte dvoulistý hyperboloid . Vyberme horní část komponent . Všimněte si, že tato komponenta je podobná prostoru. Konkrétně kvadratická forma na ní definuje metriku; s touto metrikou je horní komponenta modelem Lobačevského roviny. $(+,+,-)$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ $t>0$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Přímky (jinými slovy geodetika ) v tomto modelu jsou řezy hyperboloidu rovinami procházejícími počátkem.

Perspektivní projekce na vodorovnou rovinu se středem v počátku převádí tento model na projektivní model. Perspektivní projekce na vodorovnou rovinu se středem v bodě převádí tento model na konformně euklidovský. $(0,0,-1)$

Povrch konstantního negativního zakřivení

Další analytickou definicí Lobachevského geometrie je, že Lobachevského geometrie je definována jako geometrie Riemannovského prostoru konstantního negativního zakřivení. Tato definice byla ve skutečnosti dána již v roce 1854 Riemannem a zahrnovala model Lobačevského geometrie jako geometrie na plochách konstantní křivosti. Riemann však své konstrukce přímo nespojoval s Lobačevského geometrií a jeho zpráva, v níž o nich referoval, nebyla pochopena a vyšla až po jeho smrti (v roce 1868 ).

Příkladem takové plochy je koule o pomyslném poloměru

({\vec {x)),{\vec {x)))=-1

x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

v Minkowského prostoru . Viz část Model na hyperboloidu .

Obsah Lobačevského geometrie

Lobačevskij vybudoval svou geometrii, vycházející ze základních geometrických pojmů a svého axiomu, a dokázal věty geometrickou metodou, podobně jako se to dělá v Euklidově geometrii. Jako základ posloužila teorie rovnoběžných čar, protože zde začíná rozdíl mezi Lobačevského geometrií a Euklidovou geometrií. Všechny věty, které nezávisí na rovnoběžném axiomu, jsou společné pro obě geometrie; tvoří tzv. absolutní geometrii , která zahrnuje např. znaménka rovnosti trojúhelníků. V návaznosti na teorii rovnoběžek byly vybudovány další sekce, včetně trigonometrie a principů analytické a diferenciální geometrie.

Uveďme (v moderní notaci) několik faktů Lobačevského geometrie, které ji odlišují od Euklidovy geometrie a které založil sám Lobačevskij.

Bodem P , který neleží na dané přímce R (viz obrázek), vede nekonečně mnoho přímek, které R neprotínají a jsou s ním v jedné rovině; mezi nimi jsou dva extrémy x , y , které se nazývají asymptoticky rovnoběžné (někdy jen rovnoběžné) s přímkou R a zbytek se nazývá ultraparalelní .

Úhel mezi kolmou PB od P k R a každým z asymptoticky rovnoběžných (tzv. úhel rovnoběžnosti ) se zmenšuje z 90° na 0° , jak se bod P vzdaluje od přímky (v Poincareho modelu jsou úhly v obvyklý smysl se shodují s úhly ve smyslu Lobačevského, a proto je na tomto faktu vidět přímo). Na jedné straně se rovnoběžka x na jedné straně (a y na opačné straně) asymptoticky přibližuje k a a na druhé straně se od něj nekonečně vzdaluje (vzdálenosti se v modelech těžko určují, a proto je tato skutečnost není přímo vidět). $\theta$

Pro bod umístěný ve vzdálenosti PB = a od dané přímky (viz obrázek) dal Lobačevskij vzorec pro úhel rovnoběžnosti П(a) [8] :

\theta =\Pi (a)=2\jméno operátora {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q))}

Zde q je nějaká konstanta související se zakřivením Lobačevského prostoru. Může sloužit jako absolutní jednotka délky stejně jako v kulové geometrii zaujímá poloměr koule zvláštní pozici.

Pokud mají přímky společnou kolmici, pak jsou ultraparalelní, to znamená, že se na obou jejích stranách nekonečně rozbíhají. Ke kterékoli z nich je možné obnovit kolmice, které nedosahují na druhou čáru.

V Lobačevského geometrii nejsou podobné, ale nestejné trojúhelníky; trojúhelníky jsou shodné, pokud jsou jejich úhly stejné.

Součet úhlů libovolného trojúhelníku je menší a může se libovolně blížit nule (rozdíl mezi 180° a součtem úhlů trojúhelníku ABC v Lobačevského geometrii je kladný - nazývá se defekt tohoto trojúhelníku). To je přímo vidět na modelu Poincaré. Rozdíl , kde , , jsou úhly trojúhelníku, je úměrný jeho ploše: $\pi$ $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

S=q^{2}\cdot \delta

Ze vzorce je vidět, že existuje maximální plocha trojúhelníku, a to je konečné číslo: . $\pi q^{2}$

Čára stejných vzdáleností od přímky není přímka, ale speciální křivka zvaná ekvidistanta nebo hypercyklus .

Limita kružnic s nekonečně se zvětšujícím poloměrem není přímka, ale speciální křivka zvaná limitní kružnice nebo horocyklus .

Limitem koulí s nekonečně se zvětšujícím poloměrem není rovina, ale speciální povrch – limitní koule, neboli horosféra ; je pozoruhodné, že se na něm drží euklidovská geometrie. To posloužilo Lobačevskému jako základ pro odvození trigonometrických vzorců.

Obvod není úměrný poloměru, ale roste rychleji. Konkrétně v Lobachevského geometrii nelze číslo definovat jako poměr obvodu kruhu k jeho průměru. $\pi$

Čím menší je oblast v prostoru nebo na Lobačevského rovině, tím méně se geometrické vztahy v této oblasti liší od vztahů euklidovské geometrie. Můžeme říci, že v infinitezimální oblasti se odehrává euklidovská geometrie. Například, čím menší je trojúhelník, tím méně se součet jeho úhlů liší od ; čím menší je kruh, tím méně se poměr jeho délky k poloměru liší od atd. Zmenšení plochy je formálně ekvivalentní nárůstu jednotky délky, proto s nekonečným nárůstem jednotky délky Lobačevského geometrické vzorce se promění ve vzorce euklidovské geometrie. Euklidovská geometrie je v tomto smyslu „limitujícím“ případem Lobachevského geometrie. $\pi$ $2\pi$

Vyplnění roviny a prostoru pravidelnými polytopy

Lobačevského rovinu lze vydláždit nejen pravidelnými trojúhelníky , čtverci a šestiúhelníky , ale také libovolnými jinými pravidelnými mnohoúhelníky . V jednom vrcholu parkety se přitom musí sbíhat alespoň 7 trojúhelníků, 5 čtverců, 4 pěti- nebo šestiúhelníky nebo 3 mnohoúhelníky s více než 6 stranami.To znamená, že počet různých obkladů je nekonečný a s pomocí Schläfliho symbolu ( M kusů N -gonů) lze všechny obklady Lobačevského roviny zapsat následovně: $\left\{N,M\right\}$

{3, 7}, {3, 8}, …, tj. {3, M }, kde M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, tj. {4, M }, kde M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, tj. {5, M }, kde M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, tj. {6, M }, kde M ≥4;
{N, M}, kde N > 7, M > 3.

Každý obklad vyžaduje přesně definovanou velikost jednotky N - gon, zejména jeho plocha musí být rovna: $\left\{N,M\right\}$

S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)

Na rozdíl od běžného prostoru (trojrozměrného euklidovského prostoru), který lze vyplnit pravidelnými mnohostěny pouze jedním způsobem (8 kostek na vrcholu nebo čtyři na hraně {4,3,4}), lze Lobačevského trojrozměrný prostor dlaždice s pravidelnými mnohostěny , stejně jako ploché, nekonečným počtem způsobů. Pomocí Schläfliho symbolu ( M kusů N -úhelníků se sbíhá v jednom vrcholu a P mnohostěnů se sbíhá na každém okraji ) lze všechny obklady zapsat následovně: $\left\{N,M,P\vpravo\}$

{3,3,6}, {3,3,7}, …, tj. {3,3, P }, kde P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, tj. {4,3, P }, kde P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, tj. {3,4, P }, kde P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. To znamená, {5,3, P }, kde P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, tj. {3,5, P }, kde P ≥3.

Polytopy takových oddílů mohou mít nekonečný objem, s výjimkou konečného počtu oddílů prostoru do pravidelných mnohostěnů s konečným objemem:

{3,5,3} (tři ikosaedry na okraj)
{4,3,5} (pět kostek na hranu)
{5,3,4} (čtyři dvanáctistěny na hranu)
{5,3,5} (pět dvanáctistěnů na hranu)

Kromě toho existuje 11 způsobů, jak zaplnit Lobačevského prostor pravidelnými mozaikovými horosférami ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, { 4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3, 6,3}).

Aplikace

Lobačevskij si byl jistý, že náš skutečný prostor je euklidovský. Jinak by roční paralaxa jakékoli hvězdy byla větší než určitá hodnota, závislá pouze na zakřivení prostoru. Lobačevskij na základě tehdy vypočítaných paralax některých hvězd (které se ukázaly jako velmi nepřesné) odhadl, že součet úhlů trojúhelníku se stranami přibližně rovnými poloměru zemské oběžné dráhy se neliší od 180° o více než 0,00037″ (později A.P. Kotelnikov ukázal, že na tomto místě měl Lobačevskij chybu dvou řádů nebo překlep: jeho data ukazují, že tento rozdíl nemůže být větší než 0,0000037″). Podle Lobachevského tyto výpočty ukazují, že euklidovská geometrie přesně popisuje fyzický prostor [9] .
Sám Lobachevsky aplikoval svou teorii na výpočet určitých integrálů a interpretoval je jako výrazy pro délku, plochu nebo objem čísel v jeho geometrii. [deset]
V teorii funkcí komplexní proměnné pomohla Lobachevského geometrie vybudovat teorii automorfních funkcí . Spojení s Lobačevského geometrií zde bylo výchozím bodem Poincarého výzkumu , který napsal, že „neeuklidovská geometrie je klíčem k vyřešení celého problému“. [11] [12]
Mezi Lobačevského geometrií a kinematikou speciální (soukromé) teorie relativity bylo založeno úzké spojení . Toto spojení vychází ze skutečnosti, že rovnost vyjadřuje zákon šíření světla

x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}

při dělení , tedy pro rychlost světla, dává

t^{2}

v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}

- rovnice koule v prostoru se souřadnicemi , , - složky rychlosti podél os x , y , z (v "rychlostním prostoru"). Lorentzovy transformace tuto kouli zachovávají, a protože jsou lineární, transformují přímé rychlostní prostory na přímky. Proto se podle Kleinova modelu v prostoru rychlostí uvnitř koule o poloměru c , tedy pro rychlosti menší než rychlost světla, odehrává Lobačevského geometrie. [jedenáct]

v_{x}

v_{y}

v_{z}

Pomocí Kleinova modelu je podán velmi jednoduchý a krátký důkaz motýlí věty v euklidovské geometrii.

Mýty

Existuje rozšířená mylná představa (objevená zejména v nematematické literatuře a folklóru), že v Lobačevského geometrii se "rovnoběžky protínají" [13] [14] . To není pravda. Za prvé, rovnoběžné čáry se nemohou protínat (v žádné geometrii) podle definice rovnoběžnosti . Za druhé, v Lobačevského geometrii je přesně možné kreslit bodem, který neleží na dané přímce, nekonečně mnoha přímkami, které se s ní neprotínají.

Viz také

Poznámky

↑ Rosenfeld B. A. Důkazy pátého postulátu Euklida od středověkých matematiků Hassana ibn al-Khaythama a Lea Gersonidese. - M .: IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. - Romae, 1574.
↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. — Pisa, 1658.
↑ Obvykle se říká, že se bál nepochopení. V jednom dopise, který se dotýká otázky pátého postulátu a neeuklidovské geometrie, Gauss skutečně píše: „bojte se křiku Boiótů “<...> Možná však existuje jiné vysvětlení Gaussova mlčení: byl jedním z mála, kdo pochopil, že bez ohledu na to, kolik zajímavých teorémů neeuklidovské geometrie nebylo vydedukováno, stále to nic nedokazuje - vždy existuje teoretická možnost, že jako další důsledky bude získáno protichůdné tvrzení. Nebo možná Gauss pochopil (či cítil), že v té době (první polovina 19. století) ještě nebyly nalezeny matematické koncepty, které by umožnily tento problém přesně položit a vyřešit. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, kap. XII, odst. 2, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
↑ O základech geometrie. Sbírka klasických děl o Lobačevského geometrii a vývoji jejích myšlenek. Moskva: Gostechizdat, 1956, s. 119-120.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Lobačevskij, N.I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. Berlín: F. Fincke, 1840; třicet
↑ Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ed.) Matematika 19. století. Moskva: Nauka, svazek II, str. 62.
↑ Larisa I. Brylevskaja. Lobačevského geometrie a výzkum geometrie vesmíru (anglicky) // Publikace Astronomické observatoře v Bělehradě. - 2008. - Ne. 85 . - str. 129-134 . Archivováno z originálu 24. září 2019.
↑ Kagan V.F. Lobačevskij . - M. - L .: Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1948. - S. 238 -242.
↑ 1 2 Lobačevského geometrie // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ C.S. Yogananda. Poincaré a teorie automorfních funkcí // Rezonance. - 2000. - V. 5 , čís. 2 . - S. 26-31 .
↑ Paralelní linie - v mytologii, realitě a matematice Archivní kopie z 20. dubna 2010 na Wayback Machine Uspensky V. A. Apologie matematiky, kapitola 8.
↑ Objev Lobačevského geometrie měl velký vliv na rozvoj matematiky a na pochopení vztahu mezi matematikou a vnějším světem. Diskuse, které v důsledku toho vznikly, zřejmě ovlivnily názory mnoha humanitních vědců. Bohužel jsou zde spíše fixovány ve formě uměleckého obrazu: protiklad „pozemské“ – euklidovské geometrie a „abstrusní“ – neeuklidovské, vynalezené matematiky. Rozdíl mezi těmito dvěma geometriemi je navíc údajně v tom, že v první, každému srozumitelné, se rovnoběžné linie neprotínají a v druhé, pro běžnou mysl těžko pochopitelnou, se protínají. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, kap. XII, str. 426, - Fizmatlit, Moskva, 2009.

Literatura

Díla zakladatelů

Lobachevsky NI Geometrické studie o teorii rovnoběžných čar // Kazaňský bulletin. - Kazaň: Imperial Kazan University, 1829-1830. - č. 25-29 .
Na základech geometrie. Sbírka klasických děl o Lobačevského geometrii a vývoji jejích myšlenek. Moskva: Gostechizdat, 1956.

Moderní literatura

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometrie. - Moskva: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Co je neeuklidovská geometrie. — Moskva: URSS, 2007.
Delaunay BN Elementární důkaz konzistence Lobačevského planimetrie. - Moskva: Gostechizdat , 1956.
Iovlev N. N. Úvod do elementární geometrie a trigonometrie Lobačevského . - M. - L. : Giz., 1930. - S. 67.
Kadomtsev S. B. Geometrie Lobačevského a fyzika. - Ed. 3. - M . : Knižní dům " LIBROKOM ", 2009. - 72 s.
Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Popov A. G. "Lobačevského geometrie: objev a cesta k modernitě" // Priroda . - 1993. - č. 7 . - S. 19-27 .
S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, D. D. Sokolov Některé otázky Lobačevského geometrie související s fyzikou . — Výsledky vědy a techniky. Ser. Probl. geom., 13, VINITI, M., 1982, 157-188.
Klein F. Neeuklidovská geometrie . - M. - L. : ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G. Pseudosférické povrchy // Soros Educational Journal . - ISSEP, 2004. - V. 8 , č. 2 . - S. 119-127 .
Popov AG Pseudokulové plochy a některé problémy matematické fyziky .
Rozenfeld B. A. Interpretace Lobačevského geometrie // Historické a matematické studie . - M. : GITTL, 1956. - č. 9 . - S. 169-208 .
Smogorzhevsky A. S. "O geometrii Lobachevského" // Populární přednášky o matematice . - Gostekhizdat, 1958. - T. 23 . - S. 68 .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - Moskva: Fizmatlit , 2009.

Odkazy

Geometrie Lobačevského archivována 7. prosince 2021 na Wayback Machine

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNF : 12065206h GND : 4161041-6 J9U : 987007565328305171 LCCN : sh85054149 LNB : 000142143 NKC : ph257174