Konformní euklidovský model nebo Poincarého model je modelem Lobačevského prostoru.
Existují varianty modelu - v kruhu ( stereografická projekce ) a v polorovině pro Lobačevského planimetrii , stejně jako v kouli a v poloprostoru - pro Lobačevského stereometrii , resp.
Konformní euklidovský model je pozoruhodný tím, že v něm jsou rohy reprezentovány obyčejnými úhly, tedy tento model je konformní [1] , na rozdíl od projektivního modelu , ve kterém je definice úhlů mnohem obtížnější.
Tento model navrhl Eugenio Beltrami spolu s projektivním modelem a modelem pseudosféry . [2] Metrika v konformním euklidovském modelu je také ve slavné Riemannově přednášce „O hypotézách podléhajících geometrii“, ale spojení s Lobachevského geometrií objevil Beltrami. Následně Henri Poincaré objevil souvislosti tohoto modelu s problémy v teorii funkcí komplexní proměnné , což dalo jednu z prvních vážných aplikací Lobačevského geometrie .
Lobachevsky letadlo je vzato být vnitřek kruhu (ukázaný na obrázku) v euklidovském prostoru; hranice daného kruhu (kruhu) se nazývá "absolutní". Roli geodetických linií plní oblouky kružnic obsažených v této kružnici kolmé k absolutnu a její průměry; rolí pohybů jsou transformace získané kombinacemi inverzí vzhledem ke kružnicím, jejichž oblouky slouží jako přímky.
Metrika Lobačevského roviny v konformním euklidovském modelu v jednotkové kružnici je:
kde a jsou osy úsečky a pořadnice [3] .
Podobně pro konformní euklidovský model v kouli hraje roli absolutna hraniční sféra v trojrozměrném euklidovském prostoru a Lobačevského prostor je vnitřkem koule.
V komplexních souřadnicích na jednotkové kružnici lze vzdálenosti vypočítat pomocí následujícího vzorce:
Vzdálenost může být vyjádřena pomocí dvojitého poměru . Pokud na oblouku jsou body umístěny v následujícím pořadí: , , , pak vzdálenost mezi body a , v Lobačevského geometrii je rovna
.V Poincareho polorovinném modelu je horní polorovina brána jako Lobačevského rovina . Přímka ohraničující polorovinu (tj. osu úsečky) se nazývá „absolutní“. Roli přímek hrají půlkruhy obsažené v této polorovině se středy na absolutnu a paprsky na něj kolmými (tedy vertikálními paprsky) začínajícími v absolutnu. Úlohou pohybů jsou transformace získané složením konečného počtu inverzí zaměřených na absolutní a osové symetrie , jejichž osy jsou kolmé k absolutnu.
Lobačevského rovinná metrika v konformním euklidovském modelu v horní polorovině má tvar: [3] , kde a jsou pravoúhlé souřadnice, respektive rovnoběžné a kolmé k absolutnu.
Podle toho v konformním euklidovském modelu v poloprostoru hraje roli absolutna rovina v trojrozměrném euklidovském prostoru a Lobačevského prostor je poloprostor ležící na této rovině.