Rovnoběžný úhel

Úhel rovnoběžnosti v Lobačevského geometrii je úhel mezi kolmicí k dané přímce a asymptoticky rovnoběžnou přímkou vedenou z bodu neležícího na dané přímce.

V euklidovské geometrii je úhel rovnoběžnosti vždy správný.

V Lobachevského geometrii je úhel rovnoběžnosti vždy ostrý. Na Lobačevského rovině se zakřivením −1 se úhel rovnoběžnosti pro bod ve vzdálenosti od přímky obvykle značí . $A$ $\Pi (a)$

Vlastnosti a vztahy

$\Pi (a)$ je ostrý úhel na noze rovný , v pravoúhlém hyperbolickém trojúhelníku, který má dvě asymptotické rovnoběžné strany. $A$
$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ a }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi(a)=0.$

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{ -a}}}\ ,$

$\cos \Pi (a)=\jméno operátora {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}} \ ,$

$\operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^ {a}-e^{-a}}}$

$\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),$

kde sh, ch, th, sech a csch jsou hyperbolické funkce a gd je Gudermannova funkce .

Historie

Úhel rovnoběžnosti uvažoval Lobačevskij [1] . Zejména odvodil vztah

\operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.

Odkazy

↑ Lobačevskij, NI Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. — Berlín, 1840.

Literatura

D. Mordukhai-Boltovskoy . O geometrických konstrukcích v Lobačevském prostoru // In mem. Lobatschevskii. - 1927. - T. 2 . — S. 67–82 . (Ruština)
Lobačevskij , Nikolaj Ivanovič Geometrické studie v teorii rovnoběžek . - M. - L .: Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1945. - 176 s.