Letadlo

Rovina je jedním ze základních pojmů v geometrii . V systematickém představení geometrie je pojem roviny obvykle brán jako jeden z výchozích pojmů, který je pouze nepřímo určen axiomy geometrie. V těsném spojení s rovinou je obvyklé uvažovat body a přímky , které k ní patří ; jsou také zpravidla zaváděny jako nedefinované pojmy, jejichž vlastnosti jsou specifikovány axiomaticky [1] .

Některé charakteristické vlastnosti letadla

Rovina je plocha, která úplně obsahuje každou přímku spojující některý z jejích bodů ;
Dvě roviny jsou buď rovnoběžné , nebo se protínají v přímce.
Přímka je buď rovnoběžná s rovinou, nebo ji protíná v jednom bodě, nebo je v rovině.
Dvě přímky kolmé na stejnou rovinu jsou vzájemně rovnoběžné.
Dvě roviny kolmé ke stejné přímce jsou vzájemně rovnoběžné.

Rovinné rovnice

Poprvé nalezen v A. K. Clairaut ( 1731 ).

S rovnicí roviny v segmentech se zřejmě poprvé setkal G. Lame ( 1816-1818 ) .

Normální rovnici zavedl L. O. Hesse ( 1861 ).

Rovina je algebraická plocha prvního řádu : v kartézském souřadnicovém systému lze rovinu definovat rovnicí prvního stupně.

Obecná rovnice (úplná) roviny

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

kde a jsou navíc konstanty a zároveň se nerovnají nule; ve vektorové podobě: $A, B, C$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

kde je vektor poloměru bodu , vektor je kolmý k rovině (normální vektor). Vektorový směr kosinus : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Pokud je jeden z koeficientů v rovinné rovnici nulový, říká se, že rovnice je neúplná . Pro , rovina prochází počátkem souřadnic , pro (nebo , ) rovina je rovnoběžná s osou (respektive , nebo ). Pro ( , nebo ) je rovina rovnoběžná s rovinou ( nebo ). $D=0$ $A=0$ $B=0$ $C=0$ $Vůl$ $Oj$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

Rovnice roviny v úsecích:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

kde , , jsou segmenty odříznuté rovinou na osách a . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

Rovnice roviny procházející bodem kolmým na normálový vektor : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}} (A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

ve vektorové podobě:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Rovnice roviny procházející třemi danými body , které neleží na jedné přímce : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(smíšený součin vektorů), jinak

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.

Rovnice normální (normalizované) roviny

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

ve vektorové podobě:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

kde - jednotkový vektor, - vzdálenost P. od počátku. Rovnici (2) lze získat z rovnice (1) vynásobením normalizačním faktorem ${\mathbf {N^{0))}$ $p$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(znaky a jsou opačné). $\mu$ $D$

Definice podle bodu a normálového vektoru

V trojrozměrném prostoru je jedním z nejdůležitějších způsobů definování roviny určení bodu v rovině a normálového vektoru k němu.

Řekněme, že je vektor poloměru bodu definovaného v rovině, a řekněme, že n je nenulový vektor kolmý k rovině (normální). Myšlenka je taková, že bod s vektorem poloměru r je v rovině právě tehdy, když je vektor od do kolmý k n . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Vraťme se k tomu, že dva vektory jsou kolmé právě tehdy, když je jejich bodový součin roven nule. Z toho vyplývá, že rovinu, kterou potřebujeme, můžeme vyjádřit jako množinu všech bodů r tak, že:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Tady tečka znamená bodový součin, nikoli násobení.)

Rozšířením výrazu dostaneme:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

což je známá rovnice roviny.

Například: Dáno: bod v rovině a normálový vektor . $P(2,6,-3)$ $N(9,5;2)$

Rovinná rovnice je napsána takto:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Vzdálenost od bodu k rovině

Vzdálenost od bodu k rovině je nejmenší ze vzdáleností mezi tímto bodem a body v rovině. Je známo, že vzdálenost od bodu k rovině se rovná délce kolmice svržené z tohoto bodu k rovině.

Odchylka bodu od roviny dané normalizovanou rovnicí $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, jestliže a počátek leží na opačných stranách roviny, jinak . Vzdálenost od bodu k rovině je

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

Vzdálenost od bodu k rovině dané rovnicí se vypočítá podle vzorce: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $ax+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami

Vzdálenost mezi rovinami daná rovnicemi a : $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Vzdálenost mezi rovinami daná rovnicemi a : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Související pojmy

Úhel mezi dvěma rovinami. Pokud jsou P. rovnice uvedeny ve tvaru (1), pak

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Pokud ve vektorové podobě, pak

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Roviny jsou rovnoběžné , jestliže

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

nebo (křížový produkt)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Roviny jsou kolmé , jestliže

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

nebo . (skalární součin)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Svazek rovin - všechny roviny procházející průsečíkem dvou rovin. Rovnice svazku rovin, tedy libovolné roviny procházející průsečíkem dvou rovin, má tvar [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

kde a jsou všechna čísla, která se současně nerovna nule. Vlastní rovnici této přímky lze nalézt z rovnice nosníku dosazením α=1, β=0 a α=0, β=1.

\alpha

\beta

Shluk rovin - všechny roviny procházející průsečíkem tří rovin [2] :224 . Rovnice svazku rovin, tedy jakékoli roviny procházející průsečíkem tří rovin, má tvar:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

kde , a jsou všechna čísla, která se nerovnají nule současně. Tento bod samotný lze zjistit ze svazkové rovnice dosazením α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 a α=0, β=0, γ=1 a řešení výsledné soustavy rovnic.

\alpha

\beta

\gamma

Variace a zobecnění

Roviny v neeuklidovském prostoru

Metrika roviny nemusí být euklidovská . Podle zavedených incidenčních vztahů bodů a přímek se rozlišují roviny projektivní , afinní , hyperbolické a eliptické [1] .

Vícerozměrné roviny

Nechť je dán n-rozměrný afinně-konečně-rozměrný prostor nad polem reálných čísel. Má pravoúhlý souřadnicový systém . Rovina m je množina bodů, jejichž vektory poloměrů splňují následující vztah — matice, jejíž sloupce tvoří vodící podprostor roviny, — vektor proměnných, — vektor poloměru jednoho z bodů roviny. Zadaný poměr lze převést z tvaru matice-vektor do vektorového: - vektorová rovnice m-roviny. Vektory tvoří vodící podprostor. Dvě m-roviny se nazývají rovnoběžné , pokud jsou jejich vodicí prostory stejné a . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alpha$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \in V$
${\vec {a_{i))}$ $\alpha ,\beta$ $\existuje x\v \alpha :x\notin \beta$

(n-1)-rovina v n-rozměrném prostoru se nazývá nadrovina nebo jednoduše rovina . Pro nadrovinu existuje obecná rovnice pro rovinu. Nechť je normálový vektor roviny, buď vektor proměnných, buď vektor poloměru bodu patřícího do roviny, pak: buď obecná rovnice roviny. S maticí směrových vektorů lze rovnici zapsat následovně: , nebo: . Úhel mezi rovinami je nejmenší úhel mezi jejich normálovými vektory. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Příkladem 1-roviny v trojrozměrném prostoru (n=3) je přímka . Jeho vektorová rovnice má tvar: . V případě n = 2 je přímka nadrovinou. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Nadrovina v trojrozměrném prostoru odpovídá obvyklému pojetí roviny.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Encyklopedie matematiky, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometrie. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 s.
Letadlo // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Odkazy

Wikimedia Commons má média související s Plane

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus plocha počítače