Pravoúhlý trojuhelník

Pravidelný (rovnostranný nebo rovnoúhelníkový) trojúhelník je pravidelný mnohoúhelník se třemi stranami, nejjednodušší z pravidelných mnohoúhelníků. Všechny strany pravidelného trojúhelníku jsou si rovny, všechny úhly jsou si rovny a tvoří 60°. V rovnostranném trojúhelníku je nadmořská výška jak osa, tak i medián.

Vlastnosti

Nechť a je strana pravidelného trojúhelníku, R poloměr kružnice opsané , r poloměr kružnice vepsané .

Poloměr vepsané kružnice rovnostranného trojúhelníku vyjádřený jeho stranou:

r = \frac{\sqrt 3}{6}a

Poloměr kružnice opsané pravidelného trojúhelníku vyjádřený jeho stranou:

R = \frac{\sqrt 3}{3}a

Obvod rovnostranného trojúhelníku:

P = 3a = 3 \sqrt 3 R = 6 \sqrt 3 r

Výšky , mediány a osy pravidelného trojúhelníku:

h = m = l = \frac{\sqrt 3}{2}a

Plocha pravidelného trojúhelníku se vypočítá podle vzorců:

S={\frac {{\sqrt 3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt 3}}{4}}R^{2}=3{\sqrt 3}r ^{2}={\frac {{\sqrt 3}}{36}}P^{2}

Poloměr kružnice opsané se rovná dvojnásobku poloměru kružnice vepsané:

R = 2r

Letadlo lze obložit pravidelnými trojúhelníky .

V pravidelném trojúhelníku se kružnice devíti bodů shoduje s kružnicí vepsanou .

Pro rovnostranný trojúhelník T se skupina pohybů (vlastních koincidencí) roviny, přeměňující trojúhelník v sebe, skládá ze 6 prvků : tří rotací o úhly 0, 2π ⁄ 3 a 4π ⁄ 3 kolem bodu O , rovněž jako tři symetrie o třech přímkách, na kterých leží osy trojúhelníku (druhé jsou také jeho výšky a mediány ).
Na opsané kružnici libovolného trojúhelníku jsou přesně tři body takové, že jejich Simsonova čára se dotýká Eulerovy kružnice trojúhelníku , a tyto body tvoří pravidelný trojúhelník. Strany tohoto trojúhelníku jsou rovnoběžné se stranami Morleyova trojúhelníku . $ABC$ $ABC$
Rovnostranný trojúhelník je také rovnoúhelníkový trojúhelník, to znamená, že všechny vnitřní úhly jsou stejné.
Rovnostranný trojúhelník je speciální případ rovnoramenného trojúhelníku, a to: dvojitě rovnoramenného trojúhelníku.

Pravidelný sférický trojúhelník

Pro jakoukoli hodnotu v rozsahu od 60 do 180 stupňů existuje pravidelný sférický trojúhelník s úhly rovnými této hodnotě.

Věty o rovnostranném trojúhelníku nebo obsahující rovnostranný trojúhelník

Viz také

Poznámky

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}