Pravoúhlý trojuhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. května 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Pravoúhlý trojúhelník je trojúhelník , ve kterém je jeden úhel pravý (tj. 90 stupňů ).

Vztahy mezi stranami a úhly pravoúhlého trojúhelníku jsou jádrem trigonometrie .

Související definice

Strana protilehlá pravému úhlu se nazývá přepona (strana c na obrázku výše).
Strany sousedící s pravým úhlem se nazývají nohy . Strana a může být identifikována jako sousedící s úhlem B a protilehlá k úhlu A a strana b jako sousedící s úhlem A a protilehlá k úhlu B.

Typy pravoúhlých trojúhelníků

Pokud jsou nohy stejné, pak se trojúhelník nazývá rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník .
Jsou-li délky všech tří stran pravoúhlého trojúhelníku přirozená čísla, pak se trojúhelník nazývá Pythagorejský trojúhelník a délky jeho stran tvoří takzvanou Pythagorovu trojici .

Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků

Podle dvou větví: pokud jsou větve jednoho pravoúhlého trojúhelníku rovny větvím jiného pravoúhlého trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné. Toto znaménko bezprostředně navazuje na první trojúhelníkový znak rovnosti , protože dva trojúhelníky budou mít dvě ramena a pravý úhel stejný.

Podle ramene a přilehlého ostrého úhlu: pokud se rameno a ostrý úhel přilehlý k ní jednoho pravoúhlého trojúhelníku rovnají ramenu a k němu přilehlý ostrý úhel jiného pravoúhlého trojúhelníku, pak jsou tyto trojúhelníky stejné Toto znaménko bezprostředně vyplývá z druhého znaménka rovnosti trojúhelníků, protože dva trojúhelníky budou mít jednu nohu, k ní přiléhající úhel a pravý úhel.

Podle přepony a ostrého úhlu: jestliže přepona a ostrý úhel jednoho pravoúhlého trojúhelníku jsou rovna přeponě a ostrému úhlu jiného pravoúhlého trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné. Toto znaménko vyplývá z druhého znaménka rovnosti trojúhelníků, protože druhé ostré úhly se budou rovnat podle věty o součtu úhlů trojúhelníku , a přepony a dva k němu přilehlé úhly budou stejné pro trojúhelníky.

Podle přepony a větve: pokud se přepona a větev jednoho pravoúhlého trojúhelníku rovnají přeponě a větvi jiného pravoúhlého trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné. Toto znamení prokážeme následovně. Položíme dva trojúhelníky na sebe tak, abychom dostali rovnoramenný trojúhelník, to znamená, že je spojíme se stejnými nohami, takže úhly ležící na těchto nohách leží v různých rovinách. Protože jsou přepony stejné, výsledný trojúhelník je rovnoramenný, potom jsou úhly na základně stejné. Pak budou dva pravoúhlé trojúhelníky stejné v přeponě a ostrém úhlu.

Podle ramene a protilehlého ostrého úhlu : pokud se rameno a opačný ostrý úhel jednoho pravoúhlého trojúhelníku rovnají rameni a ostrému úhlu jiného pravoúhlého trojúhelníku, pak jsou takové trojúhelníky shodné. Toto znamení je dokázáno následovně: jestliže jeden z ostrých úhlů prvního trojúhelníku je roven ostrému úhlu druhého trojúhelníku, pak druhý ostrý úhel bude znám větou o součtu úhlů trojúhelníku. Protože druhý ostrý úhel sousedí s ramenem, pak bude rovnost trojúhelníků dokázána dále podle předchozí věty.

Vlastnosti

Dále předpokládáme, že jak délky nohou, tak délky přepony $A$ $b$ $C$

( Pythagorova věta ) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Plocha pravoúhlého trojúhelníku je polovina součinu jeho dvou nohou. to znamená, $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

Pro mediány a platí následující vztah: $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$
- Konkrétně medián dopadající na přeponu je roven polovině přepony.

Výška

Pokud je nadmořská výška nakreslena k přeponě, pak se trojúhelník rozdělí na dva menší trojúhelníky podobné originálu a sobě podobné. Z toho vyplývá, že v zápisu znázorněném na diagramu: [1]

Výška je geometrický průměr (průměrný průměr) dvou segmentů přepony, kterou tvoří, tj.

\displaystyle f^{2}=de,

(někdy nazývaný teorém o výšce pravoúhlého trojúhelníku )

Každá větev trojúhelníku je geometrickým průměrem přepony a průmětu větve na přeponu, tzn.

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

V pravoúhlém trojúhelníku rozděluje výška snížená od vrcholu pravého úhlu k přeponě přeponu ve stejném poměru jako čtverce sousedních ramen, tj.

\displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Navíc výška pokleslá na přeponu souvisí s rameny pravoúhlého trojúhelníku vztahem: [2] [3]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

f={\frac {ab}{c}}.

Také, pokud je pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný , pak výška pokleslá na přeponu bude rovna:

f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2)))

, kde je poloměr vepsaného kruhu a je stříbrná část .

r

\delta _{S}

Charakteristika

Trojúhelník ABC se stranami a, b, c (kde c je nejdelší strana), s kružnicí opsanou o poloměru R je pravoúhlý trojúhelník právě tehdy, když platí cokoli z následujícího: [4]

$c = 2R$ , to znamená, že jedna ze stran je průměr kružnice opsané ,
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$ ,
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1$ ,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ ,
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (inverzní Pythagorova věta),
$a+b=2(R+r)$ , to znamená, že součet dvou stran se rovná dvojnásobku součtu poloměrů kružnice opsané a vepsané,
kružnice opsané je tečnou ke kružnici s devíti body .

Goniometrické vztahy

Goniometrické funkce pro ostré úhly lze definovat jako poměr stran pravoúhlého trojúhelníku. Pro jakýkoli daný úhel je možné sestrojit pravoúhlý trojúhelník obsahující takový úhel a se stranami: protilehlé rameno, sousední rameno a přepona, vztahující se k tomuto úhlu pomocí vztahů definovaných výše. Tyto poměry stran nezávisí na konkrétním zvoleném pravoúhlém trojúhelníku, ale pouze na daném úhlu, protože všechny takto konstruované trojúhelníky jsou podobné . Jestliže pro daný úhel α, protější rameno, sousední rameno a přepona jsou označeny a , b a c , v tomto pořadí, pak mají goniometrické funkce tvar:

\sin \alpha ={\frac {a}{c)),\,\cos \alpha ={\frac {b}{c)),\,\jméno operátora {tg} \alpha ={\frac {a} {b)),\,\jméno operátora {ctg} \alpha ={\frac {b}{a)),\sec \alpha ={\frac {c}{b)),\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.

A tudíž:

Opačná větev úhlu se rovná součinu přepony a sinusu tohoto úhlu

a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .

Noha sousedící s úhlem je rovna součinu přepony a kosinusu tohoto úhlu

a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .

Opačná větev úhlu se rovná součinu druhé větve a tečny úhlu

a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .

Rameno přilehlé k úhlu se rovná součinu druhého ramene a kotangens úhlu

a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .

Přepona se rovná poměru větve k sinu opačného úhlu a / nebo částečnému poměru větve a kosinusu uzavřeného úhlu (úhlu mezi nimi)

c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b} {\cos \alpha }}.

Speciální pravoúhlé trojúhelníky

Hodnoty goniometrických funkcí lze přesně odhadnout pro určité úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se specifickými hodnotami úhlu. Mezi takové trojúhelníky patří trojúhelník 30-60-90 , který lze použít k vyhodnocení goniometrických funkcí pro libovolné násobky π/6, a trojúhelník 45-45-90 ( rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ), který lze použít k vyhodnocení goniometrických funkcí pro násobky π/4. Zejména,

Noha ležící naproti ostrému úhlu 30° (a tedy sousedící s úhlem 60°) se rovná polovině přepony.

Thalesova věta

Thalesova věta říká, že pokud jakýkoli bod A leží na kružnici o průměru BC (kromě bodů B a C samotných ), pak △ ABC je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem A . Opačné tvrzení je toto: je-li pravoúhlý trojúhelník vepsán do kruhu, pak přepona bude jeho průměrem. Důsledkem je, že délka přepony je dvojnásobkem vzdálenosti od vrcholu pravého úhlu ke středu přepony. Je také pravda, že střed kružnice popisující pravoúhlý trojúhelník je středem přepony a její poloměr se rovná polovině délky přepony.

Další vlastnosti

Poloměr kružnice vepsané v pravoúhlém trojúhelníku s rameny a a b a přeponou c je:

r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Pokud segmenty délky p a q vycházející z vrcholu C rozdělují přeponu na tři stejné segmenty délky c /3, pak: [5] :pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.

Pravoúhlý trojúhelník je jediný trojúhelník se dvěma, nikoli třemi, zřetelnými vepsanými čtverci. [6]

Nechť h a s ( h > s ) jsou strany dvou čtverců vepsaných do pravoúhlého trojúhelníku s přeponou c . Pak:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.

Obvod pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu dvou poloměrů kružnice vepsané a čtyř kružnic opsaných:

$P=2r+4R$

Pokud jsou dány S a r , pak strany trojúhelníku najdeme podle vzorců:

a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\right)

b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\right)

c={\frac {S}{r}}-r

Další důležitý poměr:

a={\frac {l_{b}}{4c}}\,\left({l_{b}+{\sqrt {8\,c^{2}+l_{b}^{2} }}}\že jo)\,\,\,

, kde je délka osy vycházející z ostrého úhlu B, c je přepona.

l_{b}\,

Ve všech pravoúhlých trojúhelníkech je medián snížený o přeponu polovinou přepony.

Kružnice o devíti bodech se dotýká kružnice opsané téhož trojúhelníku v jediném případě, je-li trojúhelník pravoúhlý. V tomto případě jde tečnost dvou kružnic do vrcholu pravého úhlu trojúhelníku.

Variace a zobecnění

Čtyřúhelníky s kolmými dvojicemi prvků: se 2 kolmými stranami a se 2 kolmými úhlopříčkami degenerují do pravoúhlého trojúhelníku, pokud délka jedné požadované strany (z jejich 4 stran), ležící blízko pravého úhlu nebo spočívající svými konci na tomto úhlu, inklinuje k nule.

Pokud je úsečka nakreslena v pravoúhlém trojúhelníku rovnoběžném s jeho přeponou, pak tento trojúhelník rozřízne na podobný pravoúhlý trojúhelník a lichoběžník . V tomto případě bude součet úhlů na jedné ze základen lichoběžníku roven 90 ° a prodloužení stran lichoběžníku se budou protínat v pravých úhlech. Potom se segment spojující středy základen označeného lichoběžníku rovná polovičnímu rozdílu základen. Toto tvrzení zobecňuje vlastnost: medián pravoúhlého trojúhelníku svrženého z vrcholu pravého úhlu k přeponě se rovná polovině délky přepony.

Poznámky

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, červenec 1999, 269-271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, červenec 2008, 313-317.
↑ Andreescu, Titu a Andrica, Dorian, "Komplexní čísla od A do...Z", Birkhäuser, 2006, str. 109-110.
↑ Posamentier, Alfred S. a Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert a DeTemple, Duane, „Čtverce vepsané do úhlů a trojúhelníků“, Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Odkazy

Kalkulačka pro pravoúhlé trojúhelníky
Weisstein, Eric W. Right Triangle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Wentworth, GA Text-Book of Geometry (neurčité) . — Ginn & Co., 1895.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také