Opsaný čtyřúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. března 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V euklidovské geometrii je opsaný čtyřúhelník konvexní čtyřúhelník , jehož strany jsou tečné k jedinému kruhu uvnitř čtyřúhelníku. Tento kruh se nazývá vepsaný kruh . Opsané čtyřúhelníky jsou zvláštním případem opsaných mnohoúhelníků .

Všechny trojúhelníky mají vepsané kružnice, ale ne všechny čtyřúhelníky. Příkladem čtyřúhelníku, do kterého nelze vepsat kruh, je obdélník , který není čtvercem. Níže uvedená část "Vlastnosti" uvádí nezbytné a dostatečné podmínky pro opsání čtyřúhelníku.

Zvláštní příležitosti

Příklady popsaných čtyřúhelníků jsou deltoidy , které zahrnují kosočtverce , které zase zahrnují čtverce . Deltoidy jsou přesně ty opsané čtyřúhelníky, které jsou zároveň ortodiagonální [1] . Pokud je čtyřúhelník opsaný a vepsaný čtyřúhelník , nazývá se bicentrální .

Vlastnosti

V popsaném čtyřúhelníku se ve středu kružnice protínají čtyři osy . Naopak konvexní čtyřúhelník, ve kterém se čtyři osy protínají v jednom bodě, musí být opsán a průsečík os je středem vepsané kružnice [2] .

Podle Pitotovy věty se dva páry protilehlých stran v opsaném čtyřúhelníku sčítají ke stejnému číslu, které se rovná semiperimetrům čtyřúhelníku :

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

Naopak čtyřúhelník, ve kterém a + c = b + d musí být opsány. [3] [4] [2]

Pokud se opačné strany v konvexním čtyřúhelníku ABCD (což není lichoběžník ) protínají v bodech E a F , pak jsou tečné ke kružnici právě tehdy, když [2]

\displaystyle BE+BF=DE+DF

nebo

\displaystyle AE-EC=AF-FC.

Druhá rovnost je téměř stejná jako rovnost v Urquhartově větě . Rozdíl je pouze ve znacích - v Urquhartově teorému součty a zde rozdíly (viz obrázek vpravo).

Další nutnou a postačující podmínkou je, že konvexní čtyřúhelník ABCD je opsán právě tehdy, když se kružnice vepsané do trojúhelníků ABC a ADC navzájem dotýkají [5] .

Popis úhlů, které svírá úhlopříčka BD se stranami čtyřúhelníku ABCD , patří Iosifescu. V roce 1954 dokázal, že konvexní čtyřúhelník má kružnici vepsanou právě tehdy, když [6]

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2)).

Dále je konvexní čtyřúhelník se stranami a , b , c , d opsán tehdy a jen tehdy, když

{\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d))

kde Ra , Rb , Rc , Rd jsou poloměry kružnic externě tečných ke stranám a , b , c , d a prodloužení sousedních stran na každé straně [7] .

Některé další popisy jsou známé pro čtyři trojúhelníky tvořené úhlopříčkami.

Speciální segmenty

Osm tečných segmentů opsaného čtyřúhelníku jsou segmenty mezi vrcholy a tečnými body na stranách. Každý vrchol má dva stejné tečné segmenty.

Dotykové body tvoří vepsaný čtyřúhelník.

Oblast

Netrigonometrické vzorce

Plocha K tečného čtyřúhelníku je dána vztahem

S=r\cdot p

kde p je semiperimetr a r je poloměr vepsané kružnice . Další vzorec [8]

{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2))))

udávající obsah ve smyslu úhlopříček p , q a stran a , b , c , d tečného čtyřúhelníku.

Oblast lze také znázornit pomocí tečných segmentů (viz výše). Pokud jsou označeny e , f , g , h , pak má tečný čtyřúhelník obsah [1]

S={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).

Kromě toho lze obsah tečného čtyřúhelníku vyjádřit pomocí stran a, b, c, d a odpovídajících délek tečných segmentů e, f, g, h [9]

S={\sqrt {abcd-(eg-fh)^{2))}.

Protože např . = fh tehdy a jen tehdy, když je také vepsáno, [10] dostáváme, že maximální plochy lze dosáhnout pouze na čtyřúhelnících, které jsou opsané i vepsané zároveň. ${\sqrt {abcd))$

Goniometrické vzorce

Trigonometrický vzorec pro plochu ve smyslu stran a , b , c , d a dvou protilehlých stran [8] [11] [12] [13]

S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Pro daný součin stran bude plocha maximální, když je čtyřúhelník také vepsaný . V tomto případě , protože opačné úhly jsou komplementární . To lze dokázat jiným způsobem, pomocí matematické analýzy [14] . $S={\sqrt {abcd))$

Další vzorec pro oblast opsaného čtyřúhelníku ABCD pomocí dvou protilehlých úhlů [12]

S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2))

kde O je střed vepsané kružnice.

Ve skutečnosti lze plochu vyjádřit pouze dvěma sousedními stranami a dvěma protilehlými úhly [8]

S=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Existuje další vzorec [8]

S={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,

kde θ je úhel (libovolný) mezi úhlopříčkami. Vzorec neplatí pro případ deltových svalů, protože v tomto případě je θ 90° a tečna není definována.

Nerovnosti

Jak již bylo zmíněno výše, oblast tečného mnohoúhelníku se stranami a , b , c , d vyhovuje nerovnosti

S\leq {\sqrt {abcd))

a rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je čtyřúhelník bicentrální .

Podle T. A. Ivanova (1976) vyhovuje poloobvod p opsaného čtyřúhelníku nerovnost

p\geq 4r

kde r je poloměr vepsané kružnice. Nerovnost se změní v rovnost právě tehdy, když je čtyřúhelník čtverec . [15] To znamená, že pro oblast S = pr je nerovnost

{\displaystyle S\geq 4r^{2))

s přechodem k rovnosti právě tehdy, když je čtyřúhelník čtverec.

Vlastnosti částí čtyřúhelníku

Čtyři úsečky mezi středem vepsané kružnice a body dotyku rozdělují čtyřúhelník na čtyři pravoúhlé deltoidy .

Pokud přímka rozděluje popisovaný čtyřúhelník na dva polygony se stejnými plochami a stejnými obvody , pak tato přímka prochází středem [ 2] .

Poloměr vepsané kružnice

Poloměr kružnice opsané čtyřúhelníku o stranách a , b , c , d je dán vzorcem [8]

r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}

kde S je plocha čtyřúhelníku a p je poloobvod. Pro opsané čtyřúhelníky s daným půlobvodem je poloměr vepsané kružnice maximální, když je čtyřúhelník zároveň vepsaný .

Z hlediska tečných segmentů je poloměr vepsané kružnice [16] [17] .

\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h))}.

Poloměr kružnice vepsané lze také vyjádřit jako vzdálenost od středu O k vrcholům opsaného čtyřúhelníku ABCD . Pokud u = AO , v = BO , x = CO a y = DO , pak

r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy) (uy+vx)}}}

kde [18] . $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)$

Vzorce pro úhly

Jestliže e , f , g a h jsou segmenty tečen od vrcholů A , B , C a D k bodům dotyku kružnice čtyřúhelníkem ABCD , pak lze úhly čtyřúhelníku vypočítat pomocí vzorců [1 ]

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)))} ,

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)))} ,

\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)))) ,

\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)))} .

Úhel mezi tětivami KM a LN je dán vzorcem [1] (viz obrázek)

\sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h )(h+e)}}}.

Úhlopříčky

Jestliže e , f , g a h jsou segmenty tečen od A , B , C a D k bodům dotyku kružnice vepsané čtyřúhelníkem ABCD , pak jsou délky úhlopříček p = AC a q = BD stejné [ 19]

\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )))},

\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )))}.

Akordy dotykového bodu

Jestliže e , f , g a h jsou segmenty od vrcholů k tečným bodům, pak jsou délky tětiv k opačným tečným bodům [1]

\displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))},

\displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},

kde tětiva k spojuje strany s délkami a = e + f a c = g + h a tětiva l spojuje strany s délkami b = f + g a d = h + e . Druhá mocnina poměru akordů vyhovuje vztahu [1]

{\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.

Dva akordy

jsou kolmé právě tehdy, když je vepsán i čtyřúhelník [20] .
mít stejnou délku právě tehdy, když opsaný čtyřúhelník je deltoid [21] .

Tětiva mezi stranami AB a CD v opsaném čtyřúhelníku ABCD je delší než tětiva mezi stranami BC a DA právě tehdy, když je středová čára mezi stranami AB a CD kratší než středová čára mezi stranami BC a DA [22] .

Pokud má opsaný čtyřúhelník ABCD tečné body M na AB a N na CD a tětiva MN protíná úhlopříčku BD v bodě P , pak je poměr úseček tečen roven poměru úseček úhlopříčky BD . [23] ${\tfrac {BM}{DN}}$ ${\tfrac {BP}{DP}}$

Kolineární body

Pokud jsou M 1 a M 2 středy úhlopříček AC a BD v opsaném čtyřúhelníku ABCD se středem kružnice vepsané O a dvojice protilehlých stran se protínají v bodech E a F a M 3 je středem úsečka EF , pak body M 3 , M 1 , O a M 2 leží na téže přímce [24] Přímka spojující tyto body se nazývá Newtonova přímka čtyřúhelníku.

Jestliže se prodloužení protilehlých stran popisovaného čtyřúhelníku protínají v bodech E a F a prodloužení protilehlých stran čtyřúhelníku tvořeného body dotyku se protínají v bodech T a S , pak čtyři body E , F , T a S leží na stejné přímce [25]

Pokud se kružnice vepsaná dotýká stran AB , BC , CD , DA v bodech M , K , N a L a pokud TM , TK , T N , TL jsou izotomicky sdružené body těchto bodů (tj . AT M = BM atd.), pak je Nagelův bod definován jako průsečík přímek T N T M a T K T L . Obě tyto čáry rozdělují obvod čtyřúhelníku na dvě stejné části. Co je však důležitější, Nagelův bod Q , "těžiště oblasti" G a střed vepsané kružnice O leží na stejné přímce, a tedy QG = 2 GO . Tato přímka se nazývá Nagelova čára opsaného čtyřúhelníku [26] .

V opsaném čtyřúhelníku ABCD se středem O vepsané kružnice , ve kterém se úhlopříčky protínají v bodě P , nechť HM , HK , HN , HL jsou ortocentry trojúhelníků AOB , BOC , COD a DOA . Potom body P , H M , H K , H N a H L leží na stejné přímce. [12]

Konkurenční a kolmé čáry

Dvě úhlopříčky čtyřúhelníku a dvě tětivy spojující protilehlé styčné body (protilehlé vrcholy vepsaného čtyřúhelníku) spolu sousedí (tj. protínají se v jednom bodě). [13] Abychom to ukázali, můžeme použít speciální případ Brianchonovy věty , která říká, že šestiúhelník, jehož všechny strany jsou tečné ke kuželosečce , má tři úhlopříčky, které se protínají v jednom bodě. Z popsaného čtyřúhelníku lze snadno získat šestiúhelník se dvěma 180° úhly vložením dvou nových vrcholů do protilehlých tečných bodů. Všech šest stran výsledného šestiúhelníku je tečných ke kružnici, takže její úhlopříčky se protínají v jednom bodě. Ale dvě úhlopříčky šestiúhelníku se shodují s úhlopříčkami čtyřúhelníku a třetí úhlopříčka prochází opačnými body dotyku. Opakováním stejné úvahy pro další dva dotykové body získáme požadovaný výsledek.

Pokud se kružnice vepsaná dotýká stran AB , BC , CD a DA v bodech M , K , N , L , pak jsou přímky MK , LN a AC konkurenční. [12]

Pokud se prodloužení protilehlých stran opsaného čtyřúhelníku protínají v bodech E a F a úhlopříčky se protínají v bodě P , pak je přímka EF kolmá k prodloužení OP , kde O je střed vepsané kružnice [27] .

Vlastnosti kružnice vepsané

Vztah dvou protilehlých stran opsaného čtyřúhelníku lze vyjádřit pomocí vzdáleností od středu vepsané kružnice O k odpovídajícím vrcholům [12]

{\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD)),\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac { OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.

Součin dvou sousedních stran opsaného čtyřúhelníku ABCD se středem vepsané kružnice O vyhovuje vztahu [28]

AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD)).

Jestliže O je střed vepsané kružnice čtyřúhelníku ABCD , pak [12]

OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).

Střed vepsané kružnice O se shoduje s "těžištěm vrcholů" čtyřúhelníku právě tehdy, když [12]

OA\cdot OC=OB\cdot OD.

Pokud jsou M 1 a M 2 středy úhlopříček AC a BD , pak [12] [29]

{\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h} },

kde e , f , g ah jsou segmenty tečen ve vrcholech A , B , C a D v tomto pořadí. Spojením první rovnosti s poslední dostaneme, že „těžiště vrcholů“ opsaného čtyřúhelníku se shoduje se středem vepsané kružnice právě tehdy, když střed vepsané kružnice leží uprostřed mezi středy úhlopříček.

Je-li čtyřčlánkový mechanismus proveden ve tvaru opsaného čtyřúhelníku, zůstane čtyřúhelník opsaný bez ohledu na jeho deformaci za předpokladu, že čtyřúhelník zůstane konvexní [30] [31] (Například při deformaci čtverce na kosočtverec, čtyřúhelník zůstane opsaný, i když vepsaná kružnice bude menší ). Je-li jedna strana při deformaci pevná, pak se při deformaci čtyřúhelníku střed vepsané kružnice pohybuje po kružnici o poloměru , kde a,b,c,d jsou strany a s je semiperimetr. ${\sqrt {abcd}}/s$

Vlastnosti čtyř vnitřních trojúhelníků

Pro neprotínající se trojúhelníky APB , BPC , CPD , DPA , tvořené úhlopříčkami konvexního čtyřúhelníku ABCD , kde se úhlopříčky protínají v bodě P , existují následující vlastnosti.

Nechť r 1 , r 2 , r 3 a r 4 jsou kruhové poloměry trojúhelníků APB , BPC , CPD a DPA . Chao a Simeonov dokázali, že čtyřúhelník je opsán právě tehdy, když [32]

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1 }{r_{4}}}.

Tuto vlastnost prokázal o pět let dříve Weinstein [33] [34] . Při řešení jeho problému dali podobnou vlastnost Vasiliev a Senderov. Jestliže h M , h K , h N a h L značí výšky stejných trojúhelníků (spadlých z průsečíku úhlopříček P ), pak je čtyřúhelník popsán právě tehdy, když [6] [34]

{\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1 }{h_{L}}}.

Další podobná vlastnost platí pro poloměry kružnice r M , r K , r N a r L pro stejné čtyři trojúhelníky (tyto čtyři kružnice se dotýkají každé strany čtyřúhelníku a prodloužení úhlopříček). Čtyřúhelník je opsán právě tehdy, když [35]

{\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1 }{r_{L}}}.

Jestliže RM , RK , RN a RL jsou poloměry opsaných kružnic trojúhelníků APB , BPC , CPD a DPA , pak je čtyřúhelník ABCD opsán právě tehdy, když [36]

R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.

V roce 1996 se zdá, že Weinstein jako první dokázal další pozoruhodnou vlastnost opsaných čtyřúhelníků, která se později objevila v několika časopisech a na webových stránkách [37] . Vlastnost říká, že pokud je konvexní čtyřúhelník svými úhlopříčkami rozdělen na čtyři nepřekrývající se trojúhelníky, leží středy kruhů těchto trojúhelníků na stejné kružnici právě tehdy, je-li čtyřúhelník opsaný. Ve skutečnosti středy vepsaných kružnic tvoří ortodiagonální vepsaný čtyřúhelník [38] . Zde mohou být vepsané kružnice nahrazeny kružnicemi (tečnami ke stranám a pokračováním úhlopříček čtyřúhelníku). Potom je konvexní čtyřúhelník opsán právě tehdy, když středy kružnic jsou vrcholy vepsaného čtyřúhelníku [39] .

Konvexní čtyřúhelník ABCD , ve kterém se úhlopříčky protínají v bodě P , je opsán právě tehdy, když čtyři středy kružnic trojúhelníků APB , BPC , CPD a DPA leží na stejné kružnici [40] (zde kružnice protínají strany čtyřúhelníku, na rozdíl od podobného tvrzení výše, kde kružnice leží mimo čtyřúhelník). Jsou-li R m , R n , R k a R l poloměry kružnic APB , BPC , CPD a DPA , respektive protilehlé k vrcholům B a D , pak další nezbytnou a postačující podmínkou pro opsání čtyřúhelníku je [41 ]

{\frac {1}{R_{m))}+{\frac {1}{R_{n))}={\frac {1}{R_{k))}+{\frac {1 }{R_{l}}}.

Dále konvexní čtyřúhelník, ve kterém se úhlopříčky protínají v bodě P , je opsán právě tehdy, když [6]

{\frac {m}{\trojúhelník (APB)))+{\frac {n}{\trojúhelník (CPD)))={\frac {k}{\trojúhelník (BPC)))+{\ frac {l}{\trojúhelník (DPA)))

kde m , k , n , l jsou délky stran AB , BC , CD a DA a ∆( APB ) je plocha trojúhelníku APB .

Úseky, na které bod P rozděluje úhlopříčku AC , označme jako AP = p a a PC = p c . Podobně P rozděluje úhlopříčku BD na segmenty BP = p b a PD = p d . Pak je čtyřúhelník opsán právě tehdy, když platí jedna z rovností: [42]

{\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b))

nebo [38]

{\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_ {c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c }+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}

nebo [43]

{\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n -p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_ {c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.

Podmínky pro to, aby opsaný čtyřúhelník byl jiným typem čtyřúhelníku

Popsaný čtyřúhelník je kosočtverec právě tehdy, když jsou opačné úhly stejné [44] .

Pokud je kružnice tečnou ke stranám AB , BC , CD , DA v bodech M , K , N , L v tomto pořadí, pak je ABCD také vepsaný čtyřúhelník právě tehdy, když [20] [25]

tětiva MN je kolmá na KL
${\frac {AM}{MB}}={\frac {DN}{NC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AM+CN}{BK+DL}}$

První tvrzení z těchto tří znamená, že tečný čtyřúhelník MKNL je ortodiagonální .

Opsaný čtyřúhelník je bicentrický (tj. opsaný a vepsaný zároveň) právě tehdy, když je poloměr vepsané kružnice největší ze všech opsaných čtyřúhelníků se stejnou posloupností stran délek [45] .

Popsaný čtyřúhelník je deltový sval právě tehdy, když je splněna některá z následujících podmínek: [46]

Plocha je poloviční než součin úhlopříček
Úhlopříčky jsou kolmé
Dva úsečky spojující protilehlé body dotyku mají stejnou délku
Jeden pár protilehlých segmentů od vrcholu k bodu dotyku má stejnou délku
Střední čáry jsou stejně dlouhé
Produkty protilehlých stran jsou stejné
Střed vepsané kružnice leží na diagonále, která je osou symetrie.

Viz také

Opsaná kružnice
Extratangentní čtyřúhelník
Popsaný lichoběžník
Kruh vepsaný do trojúhelníku

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 Josefsson, 2010a , str. 119–130.
↑ 1 2 3 4 Andreescu, Enescu, 2006 , str. 64–68.
↑ Geometrie podle Kiseleva Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , §146 .
↑ Josefsson, 2011b , str. 65.
↑ Josefsson, 2011b , str. 66.
↑ 1 2 3 Minculete, 2009 , str. 113–118.
↑ Josefsson, 2012 , str. 72.
↑ 1 2 3 4 5 Durell a Robson, 2003 , str. 28–30.
↑ Josefsson, 2010a , str. 128.
↑ Hajja, 2008 , str. 103–106.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , str. 203.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited , 2008 . Získáno 1. dubna 2015. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý)
↑ 1 2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (odkaz není k dispozici) , 1998, pp. 156–157.
↑ Hoyt, 1986 , str. 54–56.
↑ Příspěvek na Art of Problem Solving , 2012 . Získáno 1. dubna 2015. Archivováno z originálu 20. února 2014. (neurčitý)
↑ Hajja, 2008 , str. 103–106b Lemma2.
↑ Hoyt, 1984 , str. 239, 242.
↑ Josefsson, 2010b , str. 27–34.
↑ Hajja, 2008 , str. Lemma3.
↑ 12 Josefsson , 2010a , s. 124.
↑ Josefsson, 2011a , str. 166.
↑ Josefsson, 2011c , str. 162.
↑ Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2] Archivováno 2. dubna 2015 na Wayback Machine , přístup 2012-04-09.
↑ Andreescu, Enescu, 2006 , str. 42.
↑ 12 Josefsson, 2010c , s. Kor.3.
↑ Myakishev, 2006 , str. 289–295.
↑ Josefsson, 2010c , str. Kor.4.
↑ "Ineq-G126 - Geometrie - velmi pěkná!!!!", Příspěvek na Art of Problem Solving , 2011, [3]
↑ "Určit poměr OM/ON", příspěvek na Art of Problem Solving , 2011
↑ Bartoň, 1926 , str. 462–465.
↑ Bogomolny .
↑ Chao, Simeonov, 2000 , str. 657–658.
↑ Josefsson, 2011a , str. 169.
↑ 1 2 Weinstein, Vasiliev, Senderov, 1995 , str. 27–28.
↑ Josefsson, 2011b , str. 70.
↑ Josefsson, 2012b , str. 23–24.
↑ Josefsson, 2011b , str. 72-73.
↑ 12 Josefsson , 2011b , str. 74.
↑ Josefsson, 2011b , str. 73.
↑ Josefsson, 2011b , str. 79.
↑ Josefsson, 2011b , str. 80.
↑ Hoehn, 2011 , str. 211–212.
↑ Josefsson, 2011b , str. 77.
↑ DeVilliers, 2011 , str. 102–107.
↑ Hess, 2014 , str. 392-393.
↑ Josefsson, 2011a , str. 165–174.

Odkazy

Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Poklady matematické olympiády. — Birkhauser, 2006.
Helen. Na kruhu připevněném ke skládacímu čtyřtaktu // American Mathematical Monthly . - 1926. - T. 33 , čís. 9 . — .
Alexandr Bogomolnyj. Když je čtyřúhelník nepopsatelný? // Interaktivní matematika Různé a hádanky.
C. V. Durell, A. Robson. Pokročilá trigonometrie // Doverův dotisk. — 2003.
Victor Bryant, John Duncan. Kola v kolech // Mathematical Gazette . - 2010. - Vydání. 94, listopad
Albrecht Hess. Na kružnici obsahující středy tečných čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 .
Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. Když mají čtyřúhelníky vepsané kružnice (řešení problému 10698) // American Mathematical Monthly . - 2000. - T. 107 , no. 7 . - doi : 10.2307/2589133 .
Mowaffaq Hajja. Podmínka, aby byl opsaný čtyřúhelník cyklický // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .

Larry Hoehn. Nový vzorec týkající se úhlopříček a stran čtyřúhelníku. - 2011. - T. 11 .

John P. Hoyt. Rychlovky, Q694 // Magazín o matematice . - 1984. - T. 57 , no. 4 .
John P. Hoyt. Maximalizace plochy lichoběžníku // Americký matematický měsíčník . - 1986. - T. 93 , čís. 1 . - doi : 10.2307/2322549 .

Martin Josephson. Výpočty týkající se tečných délek a tečných tětiv tečného čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. — 2010a. - T. 10 .

Martin Josephson. Na poloměru tečného čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. — 2010b. - T. 10 .

Martin Josephson. Charakterizace bicentrických čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. — 2010c. - T. 10 .
Martin Josephson. Kdy je tangenciální čtyřúhelník drakem? // Fórum Geometricorum. — 2011a. - T. 11 .
Martin Josephson. Další charakteristiky tangenciálních čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. — 2011b. - T. 11 .
Martin Josephson. Oblast bicentrického čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. — 2011c. - T. 11 .
Martin Josephson. Podobné metrické charakteristiky tangenciálních a extangenciálních čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 .
Martin Josephson. Charakterizace ortodiagonálních čtyřúhelníků. — 2012b. - T. 12 .
Nicusor Minculet. Charakterizace tangenciálního čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2009. - T. 9 .
Alexej Mjakishev. Na dvou pozoruhodných liniích týkajících se čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2006. - T. 6 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometrie. — Cambridge Univ. Tisk, 1929.
I. Weinstein, N. Vasiliev, V. Senderov. (Řešení problému) M1495 // Kvant. - 1995. - Vydání. 6 .
Michael De Villiers. Rovnoúhlé cyklické a rovnostranné opsané mnohoúhelníky // Mathematical Gazette . - 2011. - Vydání. 95, březen .

Externí odkazy

Weisstein, Eric W. Tangenciální čtyřúhelník (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také