Ortodiagonální čtyřúhelník

V euklidovské geometrii je ortodiagonální čtyřúhelník čtyřúhelník , ve kterém se úhlopříčky protínají v pravých úhlech .

Zvláštní příležitosti

Deltoid je ortodiagonální čtyřúhelník, ve kterém jedna úhlopříčka je osou symetrie. Deltoidy jsou přesně ortodiagonální čtyřúhelníky, které mají kružnici tečnou ke všem čtyřem stranám. Deltoidy jsou tedy opsané ortodiagonální čtyřúhelníky [1] .

Kosočtverec je pravoúhlý čtyřúhelník se dvěma páry rovnoběžných stran (tj. pravoúhlý čtyřúhelník a rovnoběžník zároveň).

Čtverec je zvláštní případ ortodiagonálního čtyřúhelníku, který je zároveň deltovým i kosočtvercovým.

Ortodiagonální ekvidiagonální čtyřúhelníky, ve kterých úhlopříčky nejsou menší než kterákoli strana, mají maximální průměr ze všech čtyřúhelníků, což řeší n = 4 případ problému největšího jednotkového průměru polygonu v ploše . Čtverec je jedním takovým čtyřúhelníkem, ale existuje nekonečně mnoho dalších.

Popis

Pro jakýkoli ortodiagonální čtyřúhelník jsou součty čtverců protilehlých stran stejné - pro strany a , b , c a d máme [2] [3] :

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Vyplývá to z Pythagorovy věty , podle níž se kterýkoli z těchto dvou součtů rovná součtu čtyř čtverců vzdáleností od vrcholů čtyřúhelníku k průsečíku úhlopříček.

Naopak každý čtyřúhelník, ve kterém a 2 + c 2 = b 2 + d 2 musí být ortodiagonální [4] . To lze ukázat mnoha způsoby pomocí kosinové věty , vektorů , důkazu kontradikcí a komplexních čísel [5] .

Úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku jsou kolmé právě tehdy, když mají bimediány stejnou délku [5] .

Úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku ABCD jsou také kolmé tehdy a jen tehdy

\angle PAB+\úhel PBA+\úhel PCD+\úhel PDC=\pi

kde P je průsečík úhlopříček. Z této rovnosti téměř okamžitě vyplývá, že úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku jsou také kolmé právě tehdy, když průměty průsečíku úhlopříček na strany čtyřúhelníku jsou vrcholy vepsaného čtyřúhelníku [5] .

Konvexní čtyřúhelník je ortodiagonální právě tehdy, když jeho Varignonův rovnoběžník (jehož vrcholy jsou středy stran) je obdélník [5] . Také konvexní čtyřúhelník je ortodiagonální právě tehdy, když středy jeho stran a základny čtyř antimediatrices jsou osm bodů ležících na stejné kružnici , kružnici osmi bodů . Střed této kružnice je těžištěm čtyřúhelníku. Čtyřúhelník tvořený bázemi antimediatrií se nazývá hlavní ortočtyřúhelník [6] .

Jestliže normály ke stranám konvexního čtyřúhelníku ABCD průsečíkem úhlopříček protínají opačné strany v bodech R , S , T , U a K , L , M , N jsou bázemi normál, pak čtyřúhelník ABCD je ortodiagonální právě tehdy, když osm bodů K , L , M , N , R , S , T a U leží na stejné kružnici, druhá kružnice o osmi bodech . Kromě toho je konvexní čtyřúhelník ortodiagonální právě tehdy, když čtyřúhelník RSTU je obdélník, jehož strany jsou rovnoběžné s úhlopříčkami čtyřúhelníku ABCD [5] .

Existuje několik vztahů ohledně čtyř trojúhelníků tvořených průsečíkem úhlopříček P a vrcholy konvexního čtyřúhelníku ABCD . Označme m 1 , m 2 , m 3 , m 4 mediány v trojúhelníkech ABP , BCP , CDP , DAP od P ke stranám AB , BC , CD , DA . Označme R 1 , R 2 , R 3 , R 4 poloměry opsaných kružnic a prostřednictvím h 1 , h 2 , h 3 , h 4 - výšky těchto trojúhelníků. Pak je čtyřúhelník ABCD ortodiagonální právě tehdy, když platí některá z následujících rovností [5] :

${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$
${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Navíc čtyřúhelník ABCD s průsečíkem úhlopříček P je pravoúhlý právě tehdy, když středy kružnic popsaných kolem trojúhelníků ABP , BCP , CDP a DAP jsou středy stran čtyřúhelníku [5] .

Srovnání s opsaným čtyřúhelníkem

Některé číselné charakteristiky popisovaných čtyřúhelníků a pravoúhlých čtyřúhelníků jsou velmi podobné, jak je vidět v následující tabulce [5] . Zde jsou délky stran čtyřúhelníku a , b , c , d , poloměry opsaných kružnic kolem trojúhelníků jsou R 1 , R 2 , R 3 , R 4 a výšky jsou h 1 , h 2 , h 3 , h 4 (jako na obrázku) .

Opsaný čtyřúhelník	ortodiagonální čtyřúhelník
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Oblast

Plocha K pravoúhlého čtyřúhelníku je rovna polovině součinu délek úhlopříček p a q [7] :

K={\frac {p\cdot q}{2)).

Naopak každý konvexní čtyřúhelník, jehož plocha se rovná polovině součinu úhlopříček, je ortodiagonální [5] . Ortodiagonální čtyřúhelník má největší plochu ze všech konvexních čtyřúhelníků s danými úhlopříčkami.

Další vlastnosti

Pouze u ortodiagonálních čtyřúhelníků není plocha jednoznačně určena stranami a úhlem mezi úhlopříčkami [8] . Například, pokud ze dvou kosočtverců se stranami a (jako všechny kosočtverce, jejich úhlopříčky jsou kolmé) má jeden menší ostrý úhel, pak se plochy budou lišit.
Jsou-li čtverce nakresleny na stranách libovolného čtyřúhelníku (konvexního, konkávního nebo samoprotínajícího se) , pak jejich středy budou vrcholy ortodiagonálního čtyřúhelníku (rovněž ekvidiagonálního ). Toto tvrzení se nazývá Van Obelův teorém .

Vlastnosti ortodiagonálního vepsaného čtyřúhelníku

Poloměr opsané kružnice a plocha

Nechť průsečík úhlopříček v pravoúhlém čtyřúhelníku vepsaném do kruhu rozdělí jednu z úhlopříček na úseky délky p 1 a p 2 a druhou na úseky délky q 1 a q 2 . Potom (první rovnost ve výroku 11 v Archimédových lemmatech )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

kde D je průměr kružnice opsané . To platí pro libovolné dva kolmé tětivy kružnice [9] . Z tohoto vzorce vyplývá výraz pro poloměr kružnice opsané

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

nebo pokud jde o strany čtyřúhelníku,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Z toho také vyplývá, že

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Potom lze podle Eulerova vzorce vyjádřit poloměr kružnice opsané pomocí úhlopříček p a q a vzdálenosti x mezi středy úhlopříček.

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Vzorec pro plochu K vepsaného pravoúhlého čtyřúhelníku z hlediska čtyř stran se získá přímo kombinací Ptolemaiovy věty a vzorce pro obsah ortodiagonálního čtyřúhelníku .

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Další vlastnosti

Ve vepsaném ortodiagonálním čtyřúhelníku se anticentrum shoduje s průsečíkem úhlopříček [2] .
Brahmaguptův teorém říká, že pro jakýkoli vepsaný pravoúhlý čtyřúhelník kolmice na stranu procházející průsečíkem úhlopříček půlí protilehlou stranu [2] .
Je-li pravoúhlý čtyřúhelník vepsaný, je vzdálenost od středu kružnice opsané na obě strany rovna polovině délky protilehlé strany [2] .
Ve vepsaném ortodiagonálním čtyřúhelníku je vzdálenost mezi středy úhlopříček rovna vzdálenosti mezi středem kružnice opsané a průsečíkem úhlopříček [2] .
Ortodiagonální čtyřúhelník, který je také ekvidiagonální , je rms čtyřúhelník , protože jeho Varignonův rovnoběžník je čtverec. Jeho plochu lze vyjádřit čistě pomocí stran.

Obdélníky vepsané do pravoúhlého čtyřúhelníku

Jakýkoli ortodiagonální čtyřúhelník může být vepsán nekonečně mnoha obdélníky, které patří do následujících dvou sad:

i) obdélníky, jejichž strany jsou rovnoběžné s úhlopříčkami pravoúhlého čtyřúhelníku (ii) obdélníky definované Pascalovými bodovými kružnicemi. [10] [11] [12]

Poznámky

↑ Josefson, 2010 , str. 119-130.
↑ 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007 , str. 136-138.
↑ Mitchell, 2009 , str. 306-309.
↑ Ismailescu, Vojdany, 2009 , str. 195–211.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012 , str. 13–25.
↑ Mammana, Micale, Pennisi, 2011 , str. 109–119.
↑ Harries, 2002 , str. 310–311.
↑ Mitchell, 2009 , str. 306–309.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , str. 104–105, #4–23.
↑ David, Fraivert (2019), Sada obdélníků vepsaných do pravoúhlého čtyřúhelníku a definovaných Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > Archivováno 23. října 2020 na Wayback Machine .
↑ David, Fraivert (2017), Vlastnosti kružnice Pascalových bodů ve čtyřúhelníku s kolmými úhlopříčkami , Forum Geometricorum vol. 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748 dated.pdf > 5. prosince 2020 na Wayback Machine .
↑ Freivert, D. M. (2019), Nové téma v euklidovské geometrii v rovině: Teorie „pascalových bodů“ tvořených kružnicí na stranách čtyřúhelníku , Matematické vzdělávání: Stav umění a perspektivy: Sborník mezinárodních Vědecká konference , < http:/ /libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Archivováno 10. listopadu 2019 ve Wayback Machine

Literatura

Martin Josephson. Výpočty týkající se tečných délek a tečných tětiv tečného čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2010. - Sv. 10. - S. 119-130.
Martin Josephson. Charakterizace ortodiagonálních čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2012. - Sv. 12. - S. 13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Droz-Farnyho kruhy konvexního čtyřúhelníku // Forum Geometricorum. - 2011. - Sv. 11. - S. 109-119.
N. Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie. - Dover Publications, 2007. (Dotisk knihy z roku 1952, Barnes & Noble)

Douglas W. Mitchell. Oblast čtyřúhelníku // Mathematical Gazette. - 2009. - Sv. 93.—S. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Třída zachování disekcí konvexních čtyřúhelníků // Forum Geometricorum. - 2009. - Sv. 9. - S. 195-211.
J. Harry. Oblast čtyřúhelníku // Mathematical Gazette. - 2002. - Ne. 86.
David Fraivert. Vlastnosti kružnice Pascalových bodů ve čtyřúhelníku s kolmými úhlopříčkami // Forum Geometricorum. - 2017. - Sv. 17. - S. 509-526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Náročné problémy v geometrii. 2. vydání . - New York: Dover Publ., 1996. - ISBN 0-486-69154-3 .