Opsaná kružnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. března 2022; kontroly vyžadují 10 úprav .

Opsaná kružnice mnohoúhelníku je kružnice , která obsahuje všechny vrcholy mnohoúhelníku. Střed je bod (obvykle označovaný ) průsečíku kolmých os ke stranám mnohoúhelníku. $Ó$

Vlastnosti

Střed opsané kružnice konvexního n-úhelníku leží v průsečíku kolmiček k jeho stranám. V důsledku toho: pokud je kružnice opsána blízko n-úhelníku, pak se všechny kolmice na její strany protnou v jednom bodě (středu kružnice).
V blízkosti jakéhokoli pravidelného mnohoúhelníku (všechny úhly a strany jsou stejné) je možné popsat kružnici a navíc pouze jednu.
Kolem každého trojúhelníku je pouze jeden kruh.

Kruhové rovnice

Rovnici kružnice opsané lze vyjádřit pomocí kartézských souřadnic vrcholů trojúhelníku do ní vepsaného. Pojďme to předstírat

\mathbf {A} =(A_{x},A_{y})

\mathbf {B} =(B_{x},B_{y})

\mathbf {C} =(C_{x},C_{y})

jsou souřadnice vrcholů A , B a C . Potom je kružnice těžištěm bodů v = ( v x , v y ) v kartézské rovině splňujících rovnice

{\displaystyle |\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2))

|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}

|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}

|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2}

zaručující, že vrcholy A , B , C a v jsou ve stejné vzdálenosti r od společného středu u kruhu. Pomocí polarizační identity lze tyto rovnice zredukovat na podmínku, že lineární zobrazení dané maticí

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&- 2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} | ^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

má nenulové jádro . Kružnici opsanou tedy můžeme popsat jako množinu nul determinantu této matice:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{ y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{ bmatrix}}=0.

Rozšíření tohoto determinantu podél prvního řádku a zavedení notace

\quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf { B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1} {2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\ C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},

a=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix)) ,\quad b=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}

rovnici kruhu zredukujeme na tvar a | v | 2 − 2 Sv − b = 0, nebo za předpokladu, že body A , B , C neleží na stejné přímce (jinak kružnice degeneruje do přímky, kterou lze také považovat za zobecněnou kružnici se středem S v nekonečnu), | v − S / a | 2 = b / a + | S | 2 / a 2 , vyjadřující střed kružnice jako S / a a její poloměr jako √ ( b / a + | S | 2 / a 2 ). Podobný přístup umožňuje odvodit rovnici koule opsané kolem čtyřstěnu .

Parametrická rovnice

Jednotkový vektor kolmý k rovině obsahující kružnici je dán jako

{\hat {n}}={\frac {\left(P_{2}-P_{1}\right)\times \left(P_{3}-P_{1}\right)}{\ vlevo|\levá(P_{2}-P_{1}\vpravo)\krát \levá(P_{3}-P_{1}\vpravo)\vpravo|}}.

Proto, daný poloměr r se středem v Pc , je bod na kružnici P 0 jednotkou kolmou k rovině obsahující kružnici: , jednoparametrová rovnice kružnice s počátkem v P 0 a orientované v kladném směru ( tedy zadání vektorů pro pravidlo pravé ruky ) v tomto smyslu to vypadá takto: $\scriptstyle {\hat {n))$ $\scriptstyle {\hat {n))$

\mathrm {R} \left(s\right)=\mathrm {P_{c)) +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right )\left(P_{0}-P_{c}\right)+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\hat { n}}\krát \left(P_{0}-P_{c}\vpravo)\vpravo].

Souřadnice trilineární a barycentrické kružnice

Kruhová rovnice v trilineárních souřadnicích x : y : z je [1] :p. 199 a / x + b / y + c / z = 0 . Kruhová rovnice v barycentrických souřadnicích je x : y : z je a 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 . Izogonální konjugace kruhu je přímka v nekonečnu, zapsaná v trilineárních souřadnicích jako ax + by + cz = 0 a v barycentrických souřadnicích jako x + y + z = 0 .

Souřadnice středu kružnice opsané

Kartézské souřadnice středu

Kartézské souřadnice středu kružnice opsané jsou

U_{x}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2 }+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{ y})\vpravo]/D,

U_{y}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2 }+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{ x})\vpravo]/D

kde

D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y} -B_{y})\vpravo].

Bez ztráty obecnosti to lze zjednodušeně vyjádřit po přenesení vrcholu A do počátku kartézského souřadnicového systému, tedy když A ′ = A − A = ( A ′ x , A ′ y ) = (0 ,0) . V tomto případě jsou souřadnice vrcholů B ′ = B − A a C ′ = C − A vektory z vrcholu A ′ do těchto vrcholů. Všimněte si, že tento triviální překlad je možný pro všechny trojúhelníky a souřadnice středu opsané kružnice trojúhelníku A ' B ' C ' v následujícím tvaru:

\left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2} +C_{y}^{'2})\right]/D',

\left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2} +B_{y}^{'2})\right]/D'

kde

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).

Trilineární souřadnice středu

Střed opsané kružnice má trilineární souřadnice [1] :str.19

cos α : cos β : cos γ ,

kde α , β , γ jsou vnitřní úhly trojúhelníku. Z hlediska stran trojúhelníku a, b, c mají trilineární souřadnice středu kružnice opsané tvar [2]

a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{ 2}+b^{2}-c^{2}).

Barycentrické souřadnice středu

Barycentrické souřadnice středu kružnice opsané jsou

a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):\;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^ {2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),

[3] ,

kde a , b , c jsou délky stran ( BC , CA , AB v tomto pořadí) trojúhelníku. Z hlediska úhlů trojúhelníku mají barycentrické souřadnice středu kružnice opsané tvar [2] $\alpha ,\beta ,\gamma ,$

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

Vektor středu kružnice opsané

Vzhledem k tomu, že kartézské souřadnice libovolného bodu jsou váženým průměrem těchto vrcholů, s jejich váhami jsou barycentrické souřadnice bodu normalizovány v součtu po jedné, pak vektor středu opsané kružnice lze zapsat jako

U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{ 2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+ c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+ b^{2}-c^{2})}}.

Zde je U středový vektor kružnice opsané, A, B, C jsou vrcholové vektory. Dělitel je zde 16 S 2 , kde S je plocha trojúhelníku.

Pro trojúhelník

Kruh lze opsat kolem trojúhelníku, a to pouze jeden. Jeho střed bude průsečíkem mediálních kolmiček neboli mediatris .

Úhly

Obrázek ukazuje stejné úhly pro trojúhelník vepsaný do kruhu.

Úhly, které svírá kružnice opsaná se stranami trojúhelníku, se shodují s úhly, které tvoří strany trojúhelníku a vzájemně se spojují ve vrcholech. Strana protilehlá úhlu α se dotýká kružnice dvakrát: jednou na každém konci; v každém případě pod stejným úhlem α (viz obr.) (podobně i pro další dva úhly). To souvisí s teorémem alternativního segmentu, který říká, že úhel mezi tečnou a tětivou je roven úhlu vepsanému do kruhu založeném na této tětivě.

Trojúhelníkové středy na kružnici opsané trojúhelníku ABC

V tomto odstavci jsou vrcholy rohů označeny jako A , B , C a všechny souřadnice jsou trilineární souřadnice . Následující body na kružnici opsané trojúhelníku ABC:

Steinerův bod = bc / ( b 2 − c 2 ): ca / ( c 2 − a 2 ): ab / ( a 2 − b 2 ) = nevrcholový bod průsečíku kružnice opsané se Steinerovou elipsou. ( Steinerova elipsa se středem v těžišti trojúhelníku ABC je elipsa s nejmenší plochou ze všech, které procházejí vrcholy A , B a C . Rovnice Steinerovy elipsy je: 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/ ( cz ) = 0. )
Tarry bod = sek ( A + ω) : sek ( B + ω) : sek ( C + ω) = diametrálně opačný k Steinerovu bodu
Ohnisko Kiepertovy paraboly (Kiepertova parabola) = csc ( B − C ) : csc ( C − A ) : csc ( A − B ). (viz obrázek.)

Perspektivy parabol vepsaných do trojúhelníku leží na opsané Steinerově elipse [4] . Ohnisko vepsané paraboly leží na opsané kružnici a přímka prochází ortocentrem [5] . Parabola vepsaná do trojúhelníku, který má Eulerovu přímku jako směrovou přímku, se nazývá Kiepertova parabola . Jeho perspektiva je čtvrtým průsečíkem kružnice opsané a opsané Steinerovy elipsy , nazývané Steinerův bod .

Lesterova věta [6] . V nějakém scalene trojúhelníku dva Torricelliho body , střed devíti bodů a střed opsané kružnice leží na stejném kruhu ( kruh Leicesteru ).

Vlastnosti středu kružnice opsané trojúhelníku

U ostroúhlého trojúhelníku leží střed opsané kružnice uvnitř, u tupoúhlého trojúhelníku leží vně trojúhelníku, u pravoúhlého trojúhelníku leží uprostřed přepony .

ostroúhlý
tupý
Obdélníkový

Písmenem O označíme průsečík středních kolmiček k jeho stranám a nakreslíme úsečky OA , OB a OS . Protože bod O je stejně vzdálený od vrcholů trojúhelníku ABC , pak OA \ u003d OB \ u003d OS . Kružnice se středem O o poloměru OA tedy prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku a je tedy opsána kolem trojúhelníku ABC .

Střed opsané kružnice je izogonálně konjugován s orthocentrem .
3 ze 4 kružnic opsaných s ohledem na střední trojúhelníky (tvořené středními osami trojúhelníku ) se protínají v jednom bodě uvnitř trojúhelníku. Tento bod je středem kružnice opsané hlavního trojúhelníku.
Střed kružnice opsané trojúhelníku slouží jako ortocentrum trojúhelníku s vrcholy ve středních bodech stran daného trojúhelníku (tzv. komplementární trojúhelník ).
Vzdálenost od vrcholu trojúhelníku k ortocentru je dvojnásobkem vzdálenosti od středu opsané kružnice k opačné straně.
Matematicky to znamená poslední tvrzení

vzdálenost od středu opsané kružnice, například, ke straně trojúhelníku je: $A$

k_{a}=a/(2tgA);

vzdálenost od ortocentra , například, k vrcholu trojúhelníku je: $A$

d_{A}=a/(tgA).

Z posledních tří tvrzení vyplývá, že součet vzdáleností od ortocentra ostroúhlého trojúhelníku k jeho třem vrcholům je dvakrát větší než součet vzdáleností od středu kružnice opsané k jejím třem stranám a je rovná se . V tupoúhlém trojúhelníku musí být znaménko „-“ použito, pokud kolmice ze středu opsané kružnice na stranu leží zcela mimo trojúhelník nebo pokud úsečka vedená od ortocentra k vrcholu leží zcela mimo trojúhelník. Zbytek termínů je převzat se znaménkem „+“. $2(R+r)$
Matematicky poslední tvrzení ( Carnotův vzorec ) znamená, že [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

kde jsou vzdálenosti od středu kružnice opsané ke stranám trojúhelníku; jsou vzdálenosti od ortocentra k vrcholům trojúhelníku. ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A, B, C$

Carnotův vzorec (jiná formulace). Nechť D je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC . Potom součet vzdáleností od D ke stranám trojúhelníku ABC , braný se znaménkem „-“, když výška od D ke straně leží zcela mimo trojúhelník, bude roven , kde r je poloměr trojúhelníku vepsaná kružnice a R je kružnice opsaná. Zejména se správným výběrem značek. $R+r$ $\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,$
Jestliže přímka ℓ ortopolu prochází středem kružnice opsané trojúhelníku, pak samotný ortopole leží na Eulerově kružnici tohoto trojúhelníku. [osm]

Poloměr

Vzorce pro poloměr kružnice opsané

R={\frac {abc}{4S}}

R={\sqrt {\frac {S}{2\cdot \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}}.

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

, kde:

a,b,c

- strany trojúhelníku

\alpha ,\beta ,\gama

jsou úhly protilehlé stranám , resp.

a,b,c

S

- oblast trojúhelníku.

p

je semiperimetr trojúhelníku, tj .

p={\frac {a+b+c}{2}}

Poloha středu kružnice opsané

== Nechť poloměrové vektory vrcholů trojúhelníku jsou poloměrové vektory středu kružnice opsané. Pak == ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{A},{\mathbf {r} }_{B},{\mathbf {r} }_{C))$ $\mathbf {r} _{O}$

\mathbf {r} _{O}=\alpha _{A}\mathbf {r} _{A}+\alpha _{B}\mathbf {r} _{B}+\alpha _{C }\mathbf {r} _{C}

kde

\alpha _{A}={\frac {a^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{B}, {\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{C}),\qquad \alpha _{B}={\frac {b^{2}}{8S^{2} ))({\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{A},{\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{C} ),\qquad \alpha _{C}={\frac {c^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_ {A},{\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_{B})

V tomto případě délky stran trojúhelníku protilehlých k vrcholům . $a,b,c$ $A, B, C$

Rovnice kružnice opsané

Nechť souřadnice vrcholů trojúhelníku v nějaké kartézské soustavě souřadnic v rovině jsou souřadnicemi středu kružnice opsané. Pak rovnice kružnice opsané ${\mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{\mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}) ,{\mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})$ $\mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\\x_{ B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C }&1\end{vmatrix}}=0

Lze vypočítat souřadnice středu kružnice opsané

x_{O}={\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\\x_{B}^ {2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1\end{vmatrix}},\quad y_{O}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\\x_{B} ^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1\end{vmatrix}},

kde

D=2{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

V explicitní formě jsou souřadnice středu kruhu určeny vzorcem:

x_{O}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C} ^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A }^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{ x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

y_{O}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^ {2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A} ^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_ {A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

Věty týkající se kružnice opsané

Věta trojzubce , nebo trojlístek , nebo Kleinerova věta : Je- li bod průsečíku osy úhlus opsané kružnici trojúhelníku,a jsou středy vepsané a excircle, respektive dotýkající se strany, pak. $D$ $A$ $ABC$ $já$ $J$ $před naším letopočtem$ $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$
Mansionův teorém . Úsečka spojující středy vepsané atrojúhelníku je půlena kružnicí opsanou .
Mansionova věta (pokračování). Střed obloukutrojúhelníku, který neobsahuje vrchol,je ve stejné vzdálenosti od vrcholůa, střed vepsané kružnice a střed kružnice . Střed obloukuopsané kružnice trojúhelníku, obsahující vrchol, je ve stejné vzdálenosti od vrcholůa, a středůa kruhů . $AC$ $ABC$ $B$ $A$ $C$ $já$ $já_{2}$ $AC$ $ABC$ $B$ $A$ $C$ $I_1$ $I_3$
Obvodový-cevický trojúhelník je trojúhelník s vrcholy na druhém průsečíku tří čar procházejících vrcholy subdermálního trojúhelníku a daným bodem s opsaným kruhem. Věta . Ceviánský trojúhelník je podobný subdermálnímu (Důkaz na: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine ). $P$
Simsonova věta : Základny kolmiček spadlých z bodu opsané kružnice trojúhelníku na jeho strany nebo jejich prodloužení leží na stejné přímce. Tato čára se nazývá Simsonova čára . $P$ $ABC$
Podle Leicesterovy věty leží střed devíti bodů na jedné kružnici (na kružnici Leicesterské) spolu s dalšími třemi body - dvěma Torricelliho body a středem kružnice opsané [6] .
Eulerova přímka prochází: 1) těžištěm trojúhelníku, 2) ortocentrem trojúhelníku, 3) středem kružnice opsané , 4) středem kružnice devíti bodů a dalších známých bodů (viz Eulerova přímka ).
Poloměr kružnice opsané, vedené od vrcholu trojúhelníku k jeho středu, je vždy kolmý k jedné ze tří stran pravoúhlého trojúhelníku , kterou protíná (Zetel, Důsledek 2, § 66, s. 81).

Spojení kružnice opsané s kružnicí vepsanou, s ortocentrem a dalšími body

Eulerův vzorec : Jestliže - vzdálenost mezi středy vepsané a opsané kružnice trojúhelníku a jejich poloměry jsou stejné a v tomto pořadí, pak . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$

Nebo přes strany trojúhelníku:

d=OI=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b ^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

kde je poloměr kružnice opsané (viz Furmanova kružnice ). $R$

Vzdálenost od středu O k ortocentru H je [9] [10] :str. 449

OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}.

Pro těžiště G a střed devíti bodů N máme:

IG<IO,

2IN<IO,

OI^{2}=2R\cdot IN.

Součin poloměrů opsané a vepsané kružnice trojúhelníku je vztažen ke stranám a , b a c ve tvaru [11] : p. 189, #298(d) :

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Poměr poloměrů kružnice vepsané a kružnice opsané trojúhelníku [12] :

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

Pokud medián m , výška h a vnitřní osička t vycházejí ze stejného vrcholu trojúhelníku, kolem kterého je opsána kružnice o poloměru R , pak [13] :str.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Střed opsané kružnice je izogonálně konjugován s orthocentrem .
Kolmice zvednuté ke stranám trojúhelníku v bodech dotyku kružnic se protínají v jednom bodě. Tento bod je symetrický ke středu kružnice opsané vzhledem ke středu kružnice opsané [14] .
Trojúhelník má tři kružnice, které se dotýkají dvou stran trojúhelníku a kružnice opsané. Takové kruhy se nazývají polovepsané nebo Verrierovy kruhy . Úsečky spojující vrcholy trojúhelníku a odpovídající body tečnosti Verrierových kružnic s kružnicí opsané se protínají v jednom bodě, který se nazývá Verrierův bod . Slouží jako střed homothety , která převádí opsaný kruh na vepsaný . Tečné body Verrierových kružnic se stranami leží na přímce, která prochází středem vepsané kružnice .

Theboův teorém 3 stavy (viz obrázek):

Dovolit být libovolný trojúhelník , být libovolný bod na straně , být středem kružnice tečné k segmentům a opsané kolem kruhu, být střed kruhu tečné k segmentům a opsané kolem kruhu. Poté segment prochází bodem - středem kružnice vepsané v , a zároveň , kde . $ABC$ $D$ $před naším letopočtem$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $já_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $já_{1}já_{2}$ $já$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\jméno operátora {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\úhel BDA$

Carnotův vzorec říká, že v trojúhelníku ABC je součet vzdáleností od středu D kružnice opsané ke stranám trojúhelníku ABC , braný se znaménkem „-“, když výška od D ke straně leží zcela mimo trojúhelník (jinak se znaménkem "+") se bude rovnat , kde r a R jsou poloměry kružnice vepsané a opsané [13] :str.83 . $R+r$

Například pro obrázek bude mít Carnotův vzorec tvar: . $DG+DH-DF=R+r$

V jiné formulaci Carnotův vzorec říká, že [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

kde jsou vzdálenosti od středu opsané kružnice ke stranám trojúhelníku, jsou vzdálenosti od ortocentra k vrcholům trojúhelníku. ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c))$ $a,b,c$ ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C))$ $A, B, C$

Například vzdálenost od středu opsané kružnice ke straně trojúhelníku je: $A$

k_{a}=a/(2tgA);

vzdálenost od ortocentra , například, k vrcholu trojúhelníku je: $A$

d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).

Definice pro poslední větu

Trojúhelník s vrcholy v průmětech daného bodu na strany se nazývá subdermální nebo pedálový trojúhelník tohoto bodu.
Trojúhelník opsaná kružnicí-cevian je trojúhelník se třemi vrcholy v druhých průsečíkech s opsaným kruhem tří přímek vedených skrz vrcholy a daný bod.

Variace na téma

Věta [15] . Pokud nakreslíme úhlopříčku ve čtyřúhelníku vepsaném do kruhu a vepíšeme dvě kružnice do výsledných dvou trojúhelníků, pak proveďte totéž nakreslením druhé úhlopříčky, pak středy čtyř vytvořených kružnic jsou vrcholy obdélníku (tj . , leží na stejném kruhu). Tato věta se nazývá Japonská věta. (viz obr.).

Pro čtyřúhelník

Vepsaný jednoduchý (bez vlastních průniků) čtyřúhelník je konvexní . Kruhu lze opsat kolem konvexního čtyřúhelníku právě tehdy, když součet jeho protilehlých úhlů je 180° ( radiánů). Můžete popsat kruh kolem: $\pi$

jakýkoli antiparalelogram
libovolný obdélník (zvláštní případ čtverce )
libovolný rovnoramenný lichoběžník
libovolný čtyřúhelník se dvěma protilehlými úhly vpravo
jakýkoli čtyřúhelník, jehož součet protilehlých úhlů je 180 stupňů
jakýkoli čtyřúhelník, který má čtyři kolmé osy svých stran (nebo střednice svých stran, tj. kolmice ke stranám procházející jejich středy), se protínají v jednom bodě
První Ptolemaiova věta . Pro čtyřúhelník vepsaný do kruhu je součin délek úhlopříček roven součtu součinů délek dvojic protilehlých stran : [16] :

|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.

Ptolemaiova druhá věta . Konvexní čtyřúhelník je vepsán právě tehdy, když platí rovnost. [17] :

$\frac{|AC|}{|BD|} = \frac{|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot| AD | }.$

Poloměr kružnice opsané čtyřúhelníku:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Plochu čtyřúhelníku vepsaného do kruhu lze vypočítat pomocí Brahmaguptova vzorce :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

Stejný Brahmaguptův vzorec pro oblast čtyřúhelníku vepsaného do kruhu lze zapsat pomocí determinantu [18] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Více o čtyřúhelnících vepsaných do kruhu si můžete přečíst v článku " Vepsaný čtyřúhelník ".

Pro opsaný čtyřúhelník

Analoga Eulerovy věty pro vepsaný-opsaný čtyřúhelník

Pro poloměry R a r opsaných a vepsaných kružnic daného opsaného čtyřúhelníku a pro vzdálenost d mezi středy těchto kružnic platí následující vztah:

{\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

nebo

{\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

Pro mnohoúhelník

Pokud se polygon skládá ze segmentů, jeho plocha bude maximální, když je vepsán.

Pokud je bod stejně vzdálený od vrcholů mnohoúhelníku, pak se shoduje se středem kružnice popsané kolem tohoto mnohoúhelníku.

Ve sférickém trojúhelníku

Kružnice opsaná pro sférický trojúhelník je kružnice obsahující všechny jeho vrcholy.

Jestliže A , B , C jsou úhly sférického trojúhelníku, P je jejich poloviční součet, pak tangens poloměru [19] kružnice opsané bude rovna [20] :78,83

{\displaystyle \operatorname {tg} R={\sqrt {\frac {-\cos P}{\cos(PA)\cos(PB)\cos(PC)))))

Kruh opsaný patří kouli. Poloměr vedený od středu koule přes střed opsané kružnice protne kouli v bodě průsečíku odvěsnic (velké kružnice koule kolmé ke stranám v jejich středu) ke stranám kulového trojúhelníku [20] :21-22 .

Viz také

Poznámky

↑ 12 Whitworth , William Allen. Trilineární souřadnice a další metody moderní analytické geometrie dvou rozměrů , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Archivováno 24. března 2016 na Wayback Machine
↑ 1 2 Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Archivováno 19. dubna 2012 na Wayback Machine
↑ Wolframova stránka na barycentrických souřadnicích . Získáno 29. dubna 2016. Archivováno z originálu dne 20. července 2017. (neurčitý)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové - 2011. - S. 27-28.
↑ 12 Yiu , 2010 , str. 175–209.
↑ 1 2 Zetel S. I. Nová geometrie trojúhelníku. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. problém na str. 120-125. odstavec 57, s.73.
↑ Orthopole (21. ledna 2017). Staženo 22. června 2020. Archivováno z originálu dne 22. června 2020. (neurčitý) (Angličtina)
↑ Marie-Nicole Gras, "Vzdálenosti mezi circumcenter of extouch trojúhelníku a klasickými středy", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Archivováno 28. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ Smith, Geoff a Leversha, Gerry, "Euler a trojúhelníková geometrie", Mathematical Gazette 91, listopad 2007, 436-452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover, 2007 (původně 1929).
↑ Longuet-Higgins, Michael S., „O poměru inradiusu k cirkumradiusu trojúhelníku“, Mathematical Gazette 87, březen 2003, 119-120.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Myakishev A. G. Prvky geometrie trojúhelníku. Řada: "Knihovna" Matematické vzdělávání "". M.: MTSNMO, 2002. C. 11, bod 5.
↑ Kolem problému Archiméda. Př. 8, Obr. 13, str. 6 Archivováno 29. dubna 2016 na Wayback Machine // geometry.ru
↑ Ptolemaiova věta . Získáno 15. března 2009. Archivováno z originálu 10. května 2009. (neurčitý)
↑ Quadrilaterals Archived 16. září 2015 na Wayback Machine . Vepsané čtyřúhelníky.
↑ Starikov V.N. Poznámky ke geometrii // Vědecké pátrání: humanitní a socioekonomické vědy: sborník vědeckých prací. Vydání 1 / Kap. vyd. Romanova I. V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. S. 37-39
↑ Poloměr kruhu je měřen podél koule, to znamená, že je to míra velkého kruhového oblouku spojujícího průsečík poloměru koule, vedeného ze středu koule přes střed koule. kružnice s koulí a vrcholem trojúhelníku.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Literatura

Paul Yiu. Kruhy Lestera, Evanse, Parryho a jejich zobecnění // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .
Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Odkazy

Wikimedia Commons má média související s Circumscribed circle