Laplaceova věta

Laplaceův teorém je jedním z teorémů lineární algebry . Je pojmenována po francouzském matematikovi Pierru-Simonovi Laplaceovi (1749 - 1827), kterému se zasloužilo o formulaci této věty v roce 1772 [1] , i když speciální případ této věty o rozšíření determinantu v řadě (sloupci) byl známý dokonce i Leibnizovi .

Formulace

Nejprve si uveďme některé definice.

Nechť je matice velikosti a ať jsou vybrány libovolné řádky matice s čísly a libovolné sloupce s čísly . $A=(a_{{ij}})$ $n\krát n$ $k$ $A$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

Determinant matice získaný smazáním všech řádků a sloupců, kromě vybraných, se nazývá moll -tého řádu, nachází se v řádcích s čísly a sloupcích s čísly . Označuje se takto: $A$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

A determinant matice získaný vymazáním pouze vybraných řádků a sloupců ze čtvercové matice se nazývá další vedlejší k vedlejší : $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

kde a jsou počty nevybraných řádků a sloupců. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

Algebraický doplněk moll je definován takto: $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

kde ,. _ ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

Následující tvrzení je pravdivé.

Laplaceova věta

Nechť jsou vybrány libovolné řádky matice . Potom se determinant matice rovná součtu všech možných součinů minoritních tříd t. řádu umístěných v těchto řádcích a jejich algebraických doplňků.

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

kde se sčítání provádí přes všechna možná čísla sloupců

j_{1},\ldots ,j_{k}.

Počet nezletilých, přes které se bere součet v Laplaceově větě, se rovná počtu způsobů, jak vybrat sloupce z , tedy binomický koeficient . $k$ $n$ ${\displaystyle \textstyle {n \vyberte k))$

Protože řádky a sloupce matice jsou ekvivalentní s ohledem na vlastnosti determinantu, lze Laplaceovu větu formulovat i pro sloupce matice.

Příklady

Uvažujme čtvercovou matici

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Zvolíme druhý a čtvrtý řádek a determinant této matice rozšíříme pomocí Laplaceovy věty. Všimněte si, že v těchto řádcích všechny nezletilé osoby druhého řádu, kromě , obsahují nula sloupců, tj. je známo, že jsou nulové a neovlivňují součet ve větě. Takže determinant bude: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Z výše uvedeného příkladu je vidět, že Laplaceova věta zjednodušuje výpočet determinantů ne všech matic, ale pouze matic speciálního tvaru. Proto se v praxi častěji používají jiné metody, například Gaussova metoda . Věta je více aplikována na teoretická studia.

Řádkové (sloupcové) rozšíření determinantu (důsledek 1)

Všeobecně známý je speciální případ Laplaceovy věty – expanze determinantu v řádku nebo sloupci. Umožňuje vám reprezentovat determinant čtvercové matice jako součet součinů prvků libovolného z jejích řádků nebo sloupců a jejich algebraických doplňků .

Dovolit být čtvercová matice velikosti . Nechť je také uvedeno nějaké číslo řádku nebo sloupce matice . Potom lze determinant vypočítat pomocí následujících vzorců: $A=(a_{ij})$ $n\krát n$ $i$ $j$ $A$ $A$

Rozklad na -tém řádku $i$ :

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Rozklad podle sloupce $j$ :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

kde je algebraický doplněk k moll umístěný v řádku s číslem a ve sloupci s číslem . také nazývaný algebraický doplněk prvku . $A_{{ij}}$ $i$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Výrok je speciálním případem Laplaceovy věty. Stačí ji nastavit na 1 a vybrat -tý řádek, pak budou nezletilé umístěné v tomto řádku samotné prvky. $k$ $i$

Příklady

Uvažujme čtvercovou matici

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Rozšiřme determinant o prvky prvního řádku matice:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.

(Všimněte si, že algebraický doplněk k druhému prvku prvního řádku má záporné znaménko.)

Také determinant může být rozšířen například o prvky druhého sloupce:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Důsledek 2 (falešné rozšíření determinantu)

Součet součinů všech prvků některého řádku (sloupce) matice a algebraických doplňků odpovídajících prvků libovolného jiného řádku (sloupce) je roven nule. $A$

Důkaz

Uvažujme součet součinů všech prvků libovolného -tého řádku matice a algebraických doplňků odpovídajících prvků libovolného jiného, řekněme -tého řádku matice . Nechť je matice, ve které jsou všechny řádky kromě -tého řádku stejné jako v matici a prvky -tého řádku matice jsou odpovídajícími prvky -tého řádku matice . Potom má matice dva stejné řádky, a proto podle vlastnosti matice o stejných řádcích máme, že . Na druhou stranu podle Důsledku 1 je determinant roven součtu součinů všech prvků i-tého řádku matice a jejich algebraických doplňků. Všimněte si, že algebraické doplňky prvků -tého řádku matice se shodují s algebraickými doplňky odpovídajících prvků -tého řádku matice . Ale prvky -tého řádku matice jsou odpovídající prvky -tého řádku matice . Součet součinů všech prvků -tého řádku matice a jejich algebraických doplňků je tedy na jedné straně roven nule a na druhé straně je roven součtu součinů všech prvky -tého řádku matice a algebraické doplňky odpovídajících prvků -tého řádku matice . $k$ $A$ $i$ $A$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $i$ $A'$ $i$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A$

Poznámky

↑ Smith, DE Projekt Gutenbergovy dějiny moderní matematiky . — S. 18. Archivováno 16. září 2009 na Wayback Machine

Literatura

Ilyin, V. A. , Poznyak, E. G. Lineární algebra . - 6. vyd. - M .: Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Problémy a věty lineární algebry . - 2. vyd. - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.